Урок 16. Тела вращения

Телом вращения в самом простом случае называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными к некоторой прямой – оси вращения, пересекается по кругам с центрами, которые лежат на этой прямой.

Круговой цилиндр, конус, шар – примеры тел вращения.

Конус можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Катет  SO, вокруг которого происходит вращение, называется осью конуса, а гипотенуза является образующей конуса. Кроме того, катет  ОD  равняется радиусу основы конуса, а катет  SO  равняется его высоте:

R = ОD,  Н = SO.

Найдем формулу для вычисления объема любого тела вращения.

Проведем плоскость через ось тела и введем в этой плоскости декартовые координаты  х, y  приняв ось тела за ось  х. Плоскость  ху  пересекает поверхность тела по линии, для которой ось  х  является осью симметрии.

Пусть  y =  (х) – уравнение той части этой линии, которая расположена над осью  х. Проведем через точку  (х, 0)  плоскость, перпендикулярную оси  х, и обозначим через  V(x)  объём части тела, которая лежит влево от этой плоскости, V(x)  является функцией от  х. Разность

V(x + h) – V(x)   

представляет собой объем прослойки тела толщиной  h, заключительного между двумя плоскостями, которые перпендикулярны оси  х  и проходят через точки с абсциссами  х  и  х + h. Пусть  М – большее, а  m – наименьшее значение функции  f(х)   на отрезке  [x, x + h]. Тогда рассмотренная прослойка тела содержит цилиндр с радиусом  m  и высотой  h  и находится в цилиндре с радиусом  М  и той же высотой  h. Поэтому

При стремлении высоты  h  к нулю левая и правая части последнего неравенства стремятся к одной и той же величине  πf ²(x). Средняя ж часть этого неравенства при стремлении  h  к  0  стремится к производной

V'(x)  функции  V(x). Виходить,

V'(x) = πf ²(x).

По известной формуле

Эта формула и даёт объём части тела, заключённого между параллельными плоскостями  х = а  и  х = b.

Формула Симпсона.

Если плоскость сечения  S(x)  тела  Т  перпендикулярная к оси  Ох, то функция  х  имеет вид 

S(x) = αx² + βx + γ,

и объём такого тела, которое находится между плоскостями  

х = а  и  х = b,

равен:

Обозначим площади сечений:

Тогда полученное ранее виражение для вычисления объёма тела  Т  можно представить в виде:

Эту формулу называют формулой Симпсона.

С помощью формулы Симпсона легко получить выражения для вычисления объёмов тел, сечения которых плоскостью, перпендикулярной оси  Ох, можно представить в виде:

S(х) = αх² + βх + γ.

Например, это объёмы шара, пирамиды, конуса, так как соответствующие сечения этих тел соответствуют указанному условию.

ПРИМЕР:

Для шара радиуса  R  имеем:

a = –R,  b = R, 

S(a) = S(b) = 0,  
S_c = πR²,

ПРИМЕР:

В случае пирамиды:

a = 0,  b = H,  
S(a) = S₀,  
S_c = (¹/₂)²S₀,

С помощью формулы Симпсона удобно решать задачи на вычисление объёмов частей тел, которые ограничены параллельными сечениями.

ПРИМЕР:

В случае усечённого конуса (с радиусами оснований  R  и  r, высотой  h) имеем:

a = 0, b = h,  
S(a) = πR²,  
S(b) = πr²,

Заметим, что при вычислении  S_c, мы воспользовались тем, что осевым сечением усечённого конуса является трапеция, средняя линия которой равняется диаметру сечения этого конуса плоскостью

ЗАДАЧА:

Прямоугольный треугольник, катеты которого равны  а  и  b, вращается вокруг прямой, которая проходит через вершину прямого угла параллельно гипотенузе. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Прямоугольный  ∆ABC (∠ C = 90°)  вращается вокруг прямой  

OO₁ ∥ AB. 

Точка  С  лежит на прямой  OO₁. Найти площадь поверхности тела вращения, если  

АС = b  и  ВС = а.

Поверхность тела вращения будет состоять из боковой поверхности цилиндра  ABDE  и боковых поверхностей конусов  ACE  и  BCD. Образующую цилиндра найдём из данного треугольника:

а радиусы оснований конусов и цилиндров, которые равны между собой, определим из  ∆ABC:

CF × AB = AC × CB.

Обозначив  CF  через  R, найдём

Тогда поверхность тела вращения

ОТВЕТ:

Усечённый конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.

Сторона  ОО₁, вокруг которой вращается трапеция, называется осью усечённого конуса, а вторая боковая сторона  АВ  трапеции – касательной усечённого конуса. Основания трапеции будут соответственно радиусами нижнего и верхнего основания усечённого конуса:

ОА = R,  ВО₁ = r.

Поверхность, полученную вращением большой стороны  АА₁  трапеции  ОО₁А₁А  называют боковой поверхностью усечённого конуса.

Каждый отрезок этой поверхности (а также его длина), который соединяет ближайшие точки окружностей оснований усечённого конуса, называют образующими усечённого конуса. АА₁  и  ВВ₁ – образующие усечённого конуса. Они равны между собой.

Шар, так же как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полуокружности вокруг его диаметра как оси.

Если ось вращения совпадает с радиусом, который ограничивает круговой сектор  АОС, то полученный от вращения шаровой сектор называется простым, а если ось вращения не совпадает с радиусом, который ограничивает круговой сектор СОD, то шаровой сектор называется полупустым.

Объём тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси.

Объём тела, описываемого плоской фигурой при вращении её вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры и не пересекающей её, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описываемой центром тяжести этой площади:

V_{тела об} = 2πSd_c,

где  S – площадь вращающейся фигуры, а  d_c – расстояние от центра тяжести фигуры до оси вращения.

Если  ∆ АВС  вращается вокруг оси  МN, которая лежит в плоскости

треугольника, проходит через его вершину  А, но не пересекает стороны  ВС, то объём тела, полученного при этом вращении, равен произведению поверхности  S_ВС, образуемой противоположной стороной  ВС, на одну треть высоты треугольника, опущенной на эту сторону, то есть

Объём шарового сектора и шара.

Объём шарового сектора, получаемого вращением вокруг диаметра  МN  кругового сектора  АОВ, есть предел, к которому стремится объём тела, образуемого вращением многоугольника, ограниченного радиусами  ОА  и  ОВ  и правильной ломаной линией  АСDВ.

Эта ломаная вписана в дугу кругового сектора, когда число сторон её неограниченно увеличивается (и, следовательно, длина каждой из сторон  АС, СD, …  стремится к нулю).

Объём шарового сектора равен произведению поверхности соответствующего шарового пояса (или шарового сегмента) на треть радиуса:

где  R – радиус шарового сектора, а  Н – высота шарового пояса (сегмента).

Объём шара равен произведению его поверхности на треть радиуса:

где  R – радиус шара, D – диаметр шара.

Формулу для объёма шара получаем, положив в формуле для объёма шарового сектора

Н = 2R.

Объём шарового сегмента равен объёму цилиндра, у которого радиус основания есть высота сегмента, а высота цилиндра равна радиусу шара, уменьшенному на треть высоты сегмента, то есть

где  h – высота сегмента, а  R – радиус шара.

ЗАДАЧА:

Объём тела вращения, которое имеет высоту  12 см  и основаниями которого являются окружности радиусами  1 см  и  4 см, равен  600 см³. Известно, что сечение полученного тела вращения соответствует условию

S(x) = αx² + βx + γ.

Найдите площадь сечения данного тела плоскостью  х = const, которая делить высоту данного тела пополам.

РЕШЕНИЕ:

a = 0, b = 12,

S_{ниж. осн.} = πR₁² = π,

S_{верх. осн.} = πR₂² = 16π.

17π + 4S_с = 300,

Задания к уроку 16

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Единицы измерения объёмов
• Урок 2. Объём прямой призмы
• Урок 3. Объём наклонной призмы
• Урок 4. Объём правильной призмы
• Урок 5. Объём прямого параллелепипеда
• Урок 6. Объём наклонного параллелепипеда
• Урок 7. Объём прямоугольногопараллелепипеда 
• Урок 8. Объём куба
• Урок 9. Объём пирамиды
• Урок 10. Объём правильной пирамиды
• Урок 11. Объём усечённой пирамиды
• Урок 12. Объём цилиндра
• Урок 13. Объём конуса
• Урок 14. Объём усечённого конуса
• Урок 15. Объём шара и его частей
• Урок 17. Комбинации тел (2)
• Урок 18. Правильные многогранники
• Урок 19. Объёмы подобных тел