Уроки математики и физики (RU + UA)

понедельник, 17 сентября 2018 г.

Урок 16. Тела вращения

Телом вращения в самом простом случае называется такое тело, которое плоскостями, перпендикулярными к некоторой прямой – оси вращения, пересекается по кругам с центрами, которые лежат на этой прямой.

Круговой цилиндр, конус, шар – примеры тел вращения.
Конус можно получить вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Катет  SO, вокруг которого происходит вращение, называется осью конуса, а гипотенуза является образующей конуса. Кроме того, катет  ОD  равняется радиусу основы конуса, а катет  SO  равняется его высоте:
R = ОD,  Н = SO.

Найдем формулу для вычисления объема любого тела вращения.
Проведем плоскость через ось тела и введем в этой плоскости декартовые координаты  х, y  приняв ось тела за ось  х. Плоскость  ху  пересекает поверхность тела по линии, для которой ось  х  является осью симметрии.
Пусть  y =  (х) – уравнение той части этой линии, которая расположена над осью  х. Проведем через точку  (х, 0)  плоскость, перпендикулярную оси  х, и обозначим через  V(x)  объём части тела, которая лежит влево от этой плоскости, V(x)  является функцией от  х. Разность

V(x + h) – V(x)   

представляет собой объем прослойки тела толщиной  h, заключительного между двумя плоскостями, которые перпендикулярны оси  х  и проходят через точки с абсциссами  х  и  х + h. Пусть  М – большее, а  m – наименьшее значение функции  f(х)   на отрезке  [x, x + h]. Тогда рассмотренная прослойка тела содержит цилиндр с радиусом  m  и высотой  h  и находится в цилиндре с радиусом  М  и той же высотой  h. Поэтому
При стремлении высоты  h  к нулю левая и правая части последнего неравенства стремятся к одной и той же величине  πf 2(x). Средняя ж часть этого неравенства при стремлении  h  к  0  стремится к производной
V'(x)  функции  V(x). Виходить,

V'(x) = πf 2(x).

По известной формуле
Эта формула и даёт объём части тела, заключённого между параллельными плоскостями  х = а  и  х = b.

Формула Симпсона.

Если плоскость сечения  S(x)  тела  Т  перпендикулярная к оси  Ох, то функция  х  имеет вид 

S(x) = αx2 + βx + γ,

и объём такого тела, которое находится между плоскостями  

х = а  и  х = b,

равен:
Обозначим площади сечений:
Тогда полученное ранее виражение для вычисления объёма тела  Т  можно представить в виде:
Эту формулу называют формулой Симпсона.
С помощью формулы Симпсона легко получить выражения для вычисления объёмов тел, сечения которых плоскостью, перпендикулярной оси  Ох, можно представить в виде:

S(х) = αх2 + βх + γ.

Например, это объёмы шара, пирамиды, конуса, так как соответствующие сечения этих тел соответствуют указанному условию.

ПРИМЕР:

Для шара радиуса  R  имеем:

a = –R,  b = R, 
S(a) = S(b) = 0,  
Sc = πR2,
ПРИМЕР:

В случае пирамиды:

a = 0,  b = H,  
S(a) = S0,  
Sc = (1/2)2S0,
С помощью формулы Симпсона удобно решать задачи на вычисление объёмов частей тел, которые ограничены параллельными сечениями.

ПРИМЕР:

В случае усечённого конуса (с радиусами оснований  R  и  r, высотой  h) имеем:

a = 0, b = h,  
S(a) = πR2,  
S(b) = πr2,
Заметим, что при вычислении  Sc, мы воспользовались тем, что осевым сечением усечённого конуса является трапеция, средняя линия которой равняется диаметру сечения этого конуса плоскостью
ЗАДАЧА:

Прямоугольный треугольник, катеты которого равны  а  и  b, вращается вокруг прямой, которая проходит через вершину прямого угла параллельно гипотенузе. Найдите площадь поверхности тела вращения.
Прямоугольный  ABC (C = 90°)  вращается вокруг прямой  

OO1 AB

Точка  С  лежит на прямой  OO1. Найти площадь поверхности тела вращения, если  

АС = b  и  ВС = а.

Поверхность тела вращения будет состоять из боковой поверхности цилиндра  ABDE  и боковых поверхностей конусов  ACE  и  BCD. Образующую цилиндра найдём из данного треугольника:
а радиусы оснований конусов и цилиндров, которые равны между собой, определим из  ABC:

CF × AB = AC × CB.

Обозначив  CF  через  R, найдём
Тогда поверхность тела вращения
ОТВЕТ:
Усечённый конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, перпендикулярной основанию.
Сторона  ОО1, вокруг которой вращается трапеция, называется осью усечённого конуса, а вторая боковая сторона  АВ  трапеции – касательной усечённого конуса. Основания трапеции будут соответственно радиусами нижнего и верхнего основания усечённого конуса:

ОА = R,  ВО1 = r.

Поверхность, полученную вращением большой стороны  АА1  трапеции  ОО1А1А  называют боковой поверхностью усечённого конуса.
Каждый отрезок этой поверхности (а также его длина), который соединяет ближайшие точки окружностей оснований усечённого конуса, называют образующими усечённого конуса. АА1  и  ВВ1 – образующие усечённого конуса. Они равны между собой.
Шар, так же как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полуокружности вокруг его диаметра как оси.
Если ось вращения совпадает с радиусом, который ограничивает круговой сектор  АОС, то полученный от вращения шаровой сектор называется простым, а если ось вращения не совпадает с радиусом, который ограничивает круговой сектор СОD, то шаровой сектор называется полупустым.
Объём тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг оси.

Объём тела, описываемого плоской фигурой при вращении её вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры и не пересекающей её, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описываемой центром тяжести этой площади:

Vтела об = 2πSdc,

где  S – площадь вращающейся фигуры, а  dc – расстояние от центра тяжести фигуры до оси вращения.
Если  АВС  вращается вокруг оси  МN, которая лежит в плоскости
треугольника, проходит через его вершину  А, но не пересекает стороны  ВС, то объём тела, полученного при этом вращении, равен произведению поверхности  SВС, образуемой противоположной стороной  ВС, на одну треть высоты треугольника, опущенной на эту сторону, то есть
Объём шарового сектора и шара.

Объём шарового сектора, получаемого вращением вокруг диаметра  МN  кругового сектора  АОВ, есть предел, к которому стремится объём тела, образуемого вращением многоугольника, ограниченного радиусами  ОА  и  ОВ  и правильной ломаной линией  АСDВ.
Эта ломаная вписана в дугу кругового сектора, когда число сторон её неограниченно увеличивается (и, следовательно, длина каждой из сторон  АС, СD, …  стремится к нулю).

Объём шарового сектора равен произведению поверхности соответствующего шарового пояса (или шарового сегмента) на треть радиуса:
где  R – радиус шарового сектора, а  Н – высота шарового пояса (сегмента).

Объём шара равен произведению его поверхности на треть радиуса:
где  R – радиус шара, D – диаметр шара.
Формулу для объёма шара получаем, положив в формуле для объёма шарового сектора

Н = 2R.

Объём шарового сегмента равен объёму цилиндра, у которого радиус основания есть высота сегмента, а высота цилиндра равна радиусу шара, уменьшенному на треть высоты сегмента, то есть
где  h – высота сегмента, а  R – радиус шара.

ЗАДАЧА:

Объём тела вращения, которое имеет высоту  12 см  и основаниями которого являются окружности радиусами  1 см  и  4 см, равен  600 см3. Известно, что сечение полученного тела вращения соответствует условию

S(x) = αx2 + βx + γ.

Найдите площадь сечения данного тела плоскостью  х = const, которая делить высоту данного тела пополам.
РЕШЕНИЕ:
a = 0, b = 12,

Sниж. осн. = πR12 = π,

Sверх. осн. = πR22 = 16π.

17π + 4Sс = 300,
Задания к уроку 16

Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий