Урок 30. Перетин прямої з колом

Розглянемо питання про перетин прямої з колом. Нехай  R – радіус кола і  d – відстань від центра кола до прямої. Візьмемо центр кола за початок координат, а пряму, перпендикулярну до даної, – за вісь  х. тоді рівнянням кола буде 

х² + у² = R²,

а рівнянням прямої 

х = d.

Пряма і коло перетинаються, якщо система двох рівнянь

х² + у² = R², 

х = d

має розв’язок.

І навпаки, усякий розв’язок цієї системи дає координати  х, у  точки перетину прямої з колом. Розв’язавши нашу систему, дістанемо:

З виразу для  у  бачимо, що система має два розв’язки, тобто:

– коло і пряма перетинаються у двох точках, якщо  
R > d.

Система має один розв’язок, тобто:

– пряма і коло дотикаються, якщо  
R = d.

Система не має розв’язків, тобто:

– пряма і коло не перетинаються, якщо  
R < d.

ПРИКЛАД:

Знайдіть точки перетину кола 

х² + у² = 1 

з прямою 

у = 2х + 1.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Оскільки точки перетину лежать на колі і прямій, то їх координати задовольняють систему рівнянь:

Розв’яжемо цю систему. Підставимо  у  з другого рівняння в перше. Дістанемо рівняння для  х:

5х² + 4х = 0.

Рівняння має два корені:

х₁ = 0,  х₂ = –0,8. 

Це абсциси точок перетину. Ординати цих точок дістанемо з рівняння прямої, підставивши в нього  х₁  і  х₂  матимемо:

у₁ = 1,  у₂ = –0,6.

Отже, точки перетину прямої і кола:

(0; 1),  (–0,8; –0,6)

ПРИКЛАД:

Знайдіть координати точок перетину кола

х² + у² = 20

і прямої

у = х – 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Координати точок перетину знайдемо із системи:

х₁ = 4,  х₂ = –2. 

у₁ = 2,  у₂ = –4.

ОТВЕТ:  (4; 2), (–2; –4).

ПРИКЛАД:

Знайдіть координати точок перетину графіків рівнянь

х² + у² = 25,

у = 2х – 5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Координати точок перетину знайдемо із системи:

х₁ = 4,  х₂ = 0. 

у₁ = 3,  у₂ = –5.

ВІДПОВІДЬ:  (4; 3), (0; –5).

ПРИКЛАД:

Знайдіть координати точок перетину кола

х² + у² = 10

і прямої

у = х – 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Координати точок перетину знайдемо із системи:

х₁ = 3,  х₂ = –1. 

у₁ = 1,  у₂ = –3.

ВІДПОВІДЬ:  (3; 1), (–1; –3).

ПРИКЛАД:

Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків рівнянь

х² + у² = 9,

х = у – 3.

Накресліть графіки даних рівнянь і позначте знайдені точки.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х² + у² = 9 – рівняння кола з центром  О(0; 0)  радіуса  3,

х = у – 3 – рівняння прямої.

Координати точок перетину знайдемо із системи:

х₁ = 0,  х₂ = –3. 

у₁ = 3,  у₂ = 0.

ВІДПОВІДЬ:  (0; 3), (–3; 0).

ПРИКЛАД:

Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків рівнянь

х² + у² = 4,

у = 2 – х.

Накресліть графіки даних рівнянь і позначте знайдені точки.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х² + у² = 4 – рівняння кола,

у = 2 – х – рівняння прямої.

Координати точок перетину знайдемо із системи:

х₁ = 0,  х₂ = 2. 

у₁ = 2,  у₂ = 0.

ВІДПОВІДЬ:  (0; 2), (2; 0).

ПРИКЛАД:

Складіть рівняння прямої, яка проходить через центри кіл

(х – 1)² + (у – 6)² = 3,

(х + 1)² + у² = 7.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

О₁(1; 6), О₂(–1; 0),  у = kх + b.

b = 3, k = 3,

y = 3x + 3.

Завдання до уроку 30

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Лінійне рівняння з одним невідомим і цілими вільними членами
• Урок 2. Лінійне рівняння з одним невідомим і дрібними вільними членами
• Урок 3. Застосування правил визначення невідомого доданка, зменшуваного і від'ємника для розв'язання задач
• Урок 4. Застосування правил визначення невідомого множника для розв'язання задач
• Урок 5. Розв'язування рівнянь, що зводяться до лінійних
• Урок 6. Розв'язування рівнянь із змінною в знаменнику
• Урок 7. Застосування правил визначення діленого і дільника для розв'язання задач
• Урок 8. Лінійне рівняння з двома невідомими
• Урок 9. Рішення лінійних рівнянь за допомогою графіків
• Урок 10. Лінійне рівняння з параметром
• Урок 11. Системи двох рівнянь першого степеня з двома невідомими
• Урок 12. Розв'язання систем рівнянь способом підстановки
• Урок 13. Розв'язання систем рівнянь способом алгебраїчного додавання
• Урок 14. Рішення лінійних систем рівнянь за допомогою графіків
• Урок 15. Розв'язування задач за допомогою систем лінійних рівнянь
• Урок 16. Системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими
• Урок 17. Повне квадратне рівняння загального вигляду
• Урок 18. Зведене квадратне рівняння
• Урок 19. Теорема Вієта
• Урок 20. Неповні квадратні рівняння
• Урок 21. Розв'язання квадратного рівняння способом виділення квадрата двочлена
• Урок 22. Графічний спосіб розв'язування квадратних рівнянь
• Урок 23. Квадратний тричлен
• Урок 24. Квадратні рівняння з параметрами
• Урок 25. Дробові раціональні рівняння
• Урок 26. Задачі на складання квадратних рівнянь
• Урок 27. Рівняння кола
• Урок 28. Системи рівнянь другого степеня є двома невідомими
• Урок 29. Розв'язування задач за допомогою систем рівнянь другого степеня
• Урок 31. Рішення нелінійних систем рівнянь за допомогою графіків
• Урок 32. Системи рівнянь з параметрами
• Урок 33. Рівняння вищих степенів
• Урок 34. Розв'язання рівнянь способом заміни
• Урок 35. Розв'язання систем рівнянь способом заміни
• Урок 36. Задачі на знаходження чисел
• Урок 37. Задачі на знаходження цифр
• Урок 38. Рішення задач на змішування за допомогою рівнянь
• Урок 39. Рішення задач на змішування за допомогою систем рівнянь
• Урок 40. Ірраціональні рівняння