Уроки математики и физики (RU + UA)

среда, 9 ноября 2016 г.

Урок 30. Перетин прямої з колом

Розглянемо питання про перетин прямої з колом. Нехай  R – радіус кола і  d – відстань від центра кола до прямої. Візьмемо центр кола за початок координат, а пряму, перпендикулярну до даної, за вісь  х. тоді рівнянням кола буде 

х2 + у2 = R2,

а рівнянням прямої 

х = d.

Пряма і коло перетинаються, якщо система двох рівнянь

х2 + у2 = R2
х = d

має розв’язок.

І навпаки, усякий розв’язок цієї системи дає координати  х, у  точки перетину прямої з колом. Розв’язавши нашу систему, дістанемо:
З виразу для  у  бачимо, що система має два розв’язки, тобто:

– коло і пряма перетинаються у двох точках, якщо  
R > d.
Система має один розв’язок, тобто:

– пряма і коло дотикаються, якщо  
R = d.
Система не має розв’язків, тобто:

– пряма і коло не перетинаються, якщо  
R < d.

ПРИКЛАД:

Знайдіть точки перетину кола 

х2 + у2 = 1 

з прямою 

у = 2х + 1.

РОЗВЯЗАННЯ:

Оскільки точки перетину лежать на колі і прямій, то їх координати задовольняють систему рівнянь:
Розв’яжемо цю систему. Підставимо  у  з другого рівняння в перше. Дістанемо рівняння для  х:

5х2 + 4х = 0.

Рівняння має два корені:

х1 = 0,  х2 = –0,8. 

Це абсциси точок перетину. Ординати цих точок дістанемо з рівняння прямої, підставивши в нього  х1  і  х2  матимемо:

у1 = 1,  у2 = –0,6.

Отже, точки перетину прямої і кола:

(0; 1),  (–0,8; –0,6)

ПРИКЛАД:

Знайдіть координати точок перетину кола

х2 + у2 = 20

і прямої

у = х – 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Координати точок перетину знайдемо із системи:
х1 = 4,  х2 = –2. 

у1 = 2,  у2 = –4.

ОТВЕТ:  (4; 2), (–2; –4).

ПРИКЛАД:

Знайдіть координати точок перетину графіків рівнянь

х2 + у2 = 25,

у = 2х – 5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Координати точок перетину знайдемо із системи:
х1 = 4,  х2 = 0. 

у1 = 3,  у2 = –5.

ВІДПОВІДЬ:  (4; 3), (0; –5).

ПРИКЛАД:

Знайдіть координати точок перетину кола

х2 + у2 = 10

і прямої

у = х – 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Координати точок перетину знайдемо із системи:
х1 = 3,  х2 = –1. 

у1 = 1,  у2 = –3.

ВІДПОВІДЬ:  (3; 1), (–1; –3).

ПРИКЛАД:

Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків рівнянь

х2 + у2 = 9,

х = у – 3.

Накресліть графіки даних рівнянь і позначте знайдені точки.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х2 + у2 = 9 – рівняння кола з центром  О(0; 0)  радіуса  3,

х = у – 3 – рівняння прямої.

Координати точок перетину знайдемо із системи:
х1 = 0,  х2 = –3. 

у1 = 3,  у2 = 0.

ВІДПОВІДЬ:  (0; 3), (–3; 0).
ПРИКЛАД:

Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків рівнянь

х2 + у2 = 4,

у = 2 – х.

Накресліть графіки даних рівнянь і позначте знайдені точки.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х2 + у2 = 4 – рівняння кола,

у = 2 – хрівняння прямої.

Координати точок перетину знайдемо із системи:
х1 = 0,  х2 = 2. 

у1 = 2,  у2 = 0.

ВІДПОВІДЬ:  (0; 2), (2; 0).
ПРИКЛАД:

Складіть рівняння прямої, яка проходить через центри кіл

(х – 1)2 + (у – 6)2 = 3,

(х + 1)2 + у2 = 7.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

О1(1; 6), О2(–1; 0),  у = kх + b.
b = 3, k = 3,
y = 3x + 3.

Завдання до уроку 30
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий