Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

среда, 7 декабря 2016 г.

Урок 33. Рівняння вищих степенів

Рівнянням вищого степеня називають кожне алгебраїчне рівняння степеня вищого за другий, тобто рівняння вигляду

 a0хn + a1xn-1 + …+ an-1x + an = 0.

Властивості рівнянь вищих степенів.   

– будь-яке алгебраїчне рівняння n-го степеня в множині чисел має  n  коренів, серед яких можуть бути і такі, що дорівнюють один одному;
– будь-який многочлен n-го степеня в множині чисел може бути представлений, і притому єдиним способом, у вигляді добутку двочленів першого степеня;
– будь-яке рівняння з дійсними коефіцієнтами має парне число уявних коренів, попарно спряжених;
– якщо всі коефіцієнти рівняння цілі і коефіцієнт при  хn  дорівнює  1, то раціональними коренями можуть бути тільки цілі числа;
– цілі корені рівняння з цілими коефіцієнти є дільниками вільного члена.

У деяких випадках, використовуючи викладені властивості, можна легко розв'язати рівняння вищих степенів з цілими коефіцієнтами.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

х3 – 6х2 + 11х – 6 = 0.

Оскільки рівняння має цілі коефіцієнти і коефіцієнт при  х3  дорівнює одиниці, то цілими коренями можуть бути тільки дільники вільного члена, тобто

1;  2;  3;  –1;  –2;  –3;  6:  –6.

 Поданим ліву частину у вигляді добутку:

х3 – х2 – 5х2 + 5х + 6х – 6
= х2 (х – 1) – 5х(х – 1) + 6(х – 1)
(х – 1)(х2 – 5х + 6).

Квадратний тричлен легко розкладається на множники, отже дане рівняння рівносильне до

(х – 1)(х – 2)(х – 3) = 0.

Звідси одержуємо, що корені даного рівняння будуть

1;  2;  3.

Деякі алгебраїчні рівняння вищих степенів можна розв'язати, звівши їх до квадратного.

Рівняння, ліва частина яких розкладається на множники, а права є нулем.

Буває, що можна розкласти ліву частину рівняння на множники, з яких кожний не вище другого степеня. Тоді прирівнюємо до нуля кожний многочлен зокрема і розв'язуємо одержані рівняння. Знайдені корені будуть коренями вихідного рівняння.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

х3 + 3х2 – 10х = 0.

Ліва частина легко розкладається на множники

х  і  х2 + 3х – 10

і, отже, досить розв'язати два рівняння

х = 0  і  х2 + 3х – 10 = 0,

з яких знаходимо три розв'язки:

х1 = 0;  х2 = 2;  х3 = –5.

Ефективність розв'язання рівнянь таким способом залежить від уміння розкласти ліву частину рівняння на множники. Проілюструємо це на прикладах.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

х3 + 6 = 7х.
х3 – 7х + 6 = 0;
х3 – х – 6х + 6 = 0;
(х3 – х) – (6х – 6) = 0;
х(х2 – 1) – 6(х – 1) = 0;
х(х – 1)(х + 1) – 6(х – 1) = 0;
(х – 1)[x(х + 1) – 6] = 0;
(х – 1)(х2 + х – 6) = 0.

Тоді

х – 1 = 0,

х2 + х – 6 = 0.

Отже,

х1 = 1;  х2 = 2;  х3 = –3.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

х4+ 2х3 – 13х2 – 14х + 24 = 0.
(х4+ х3 – 12х2) + (х3 + х2– 12х) + (– 2х2– 2х + 24) = 0.
х2 (х2+ х – 12) + х(х2 + х – 12) – 2(х2 + х – 12) = 0.
(х2+ х – 12) (х2+ х – 2) = 0.

Тоді

х2+ х – 12 = 0,
х2+ х – 2 = 0.
х1 = 3;  х2 = –4;  
х3 = 1;  х4 = –2.

Двочленні рівняння.

Двочленним рівнянням називається рівняння вигляду:

аxm ± b = 0.

Поділивши обидві частини такого рівняння на  а, одержимо зведене двочленне рівняння

xm ± q = 0.


Щоб розв'язати двочленні рівняння, покладають, що
і зводять ці рівняння до простіших:

zm + 1 = 0,
zm – 1 = 0.

Такі рівняння при деяких окремих значеннях  m  можна розв’язати елементарними способами. Загальний спосіб полягає в розкладанні лівої частини рівняння на множники, після чого рівняння зводиться до вигляду, розглянутого раніше.

ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:

х3 – 1 = 0.
х3 – 1 = (х – 1)(х2 + х + 1)

Отже, рівняння

х3 – 1 = 0

має своїми коренями корені рівнянь

х – 1 = 0,
х2 + х + 1 = 0.

Розв'язавши їх, знайдемо, що рівняння

х3 – 1 = 0

має такій корінь:

х1 = 1,
ПРИКЛАД:

Розв'язати рівняння:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розкладемо чисельник на множники (по формулі різниці кубів):
Звідси:
Квадратне рівняння

х2 + 3х – 18 = 0

Має корені 

х1 = 3  и  х2 = –6 

(х1  не входить в область допустимих значень).

ВІДПОВІДЬ:  –6
ПРИКЛАД:

Розв'яжіть рівняння:

x3 – 5x2 + 6x = 0.

Розкладемо ліву частину рівняння на множники:

х(x2 – 5x + 6) = 0.

Звідси,  х = 0  або 

x2 – 5x + 6 = 0.

Вирішуючи квадратне рівняння, отримаємо:

х1 = 2;  х2 = 3

ВІДПОВІДЬ:  0;  2;  3.

 Завдання до уроку 33
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий