Урок 24. Квадратична функція

Квадратичною (або квадратною) називають функцію, яку можна виразити формулою

у = aх² + bх + c,

де  х – аргумент,  а ≠ 0,  b  і  c – дані числа.

Найпростішою квадратичною функцією є функція вигляду

у = х².

Це – необмежена парна функція, визначена для всіх дійсних значень аргументу  х. При  х ˃ 0  вона зростаюча, а при  х < 0 – спадна.

Всяку квадратичну функцію можна задати рівнянням виду:

у = a(х – m)² + n.

Для цього виділимо з тричлена квадрат двочлена:

Рівняння

у = aх² + bх + c

рівносильне рівнянню:

Позначимо значення виразів

відповідно через  m  і  n.

Тоді рівняння набирає вигляду:

у = a(х – m)² + n.

де  m  і  n – координати вершини квадратичної функції або

Квадратичну функцію можна записати:

– у вигляді багаточлена:

у = aх² + bх + c, где  а ≠ 0;

Наприклад, у = 4х² – 24х + 20.

– у вигляді розкладання на множники (якщо коріння відповідного квадратного тричлена існує):

у = а(х –х₁)(х – х₂);

Наприклад, у = 4(х –1)(х – 5);

– у вигляді виділеного повного квадрата;

у = a(х – m)² + n

Наприклад, у = 4(х – 3)² – 16.

Область визначення функції – всі дійсні числа, тобто  D = R.

Безліч значень функції.

Якщо  а ˃ 0, то  E = [y_в; +∞).

Якщо  а < 0, то  E = (–∞; y_в],

де  х_в  і  y_в – координати вершини параболи.

ПРИКЛАД:

Дослідити на екстремум функцію 

у = х² + 2х + 5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у = х² + 2х + 5 =

= (х + 1)² + 5.

Вираз 

(х + 1)² 

завжди додатний і тільки при  х = –1  дорівнює нулю.

Отже, в точці  х = –1  дана функція має мінімум. Максимуму функція не має.

ПРИКЛАД:

Якого найбільшого значення набуває функція ?

6х² – х⁴ – 6.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

f(x) = 6х² – х⁴ – 6 =

(– х⁴ + 2 ∙ 3х² – 3²) + 3 =

=–(х⁴ – 2 ∙ 3х² + 3²) + 3 =

–(х² – 3)² + 3.

 Максимального значення функція набуде тоді, коли  –(х² – 3)² = 0, тому  f(x)_max = 3.

ВІДПОВІДЬ:  3

ПРИКЛАД:

При яких значеннях  а  і  с  вершина параболи

y = аx² + 6x + c

знаходиться в точці

А(1; 7) ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Вершина параболи  y = аx² + 6x + c  має координати:

звідки  а = –3.

у(1) = –3 ∙ 1² + 6 ∙ 1 + с = 7.

звідси:  с = 4.

ВІДПОВІДЬ:  а = –3, с = 4

ПРИКЛАД:

При якому значенні  с  найбільше значення функції

у = –0,5x² + 4x + с

дорівнює  –2 ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Вершина параболи  y = –0,5x² + 4x + с  має координати:

Тому максимальне значення  –2  функція набуває у точці  х = 4. Звідси

–2 = –0,5 ∙ 4² + 4 ∙ 4 + с,  с = –10.

Отже, максимальне значення  –2  функція набуває, якщо  с = –10.

ВІДПОВІДЬ:  с = –10

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Область визначення функції виходить із умови, що підкорене вираз не може бути негативним:

6х – х² ≥ 0,  х² – 6х ≤ 0,  0 ≤ х ≤ 6.

А також з умови, що знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:

5 – х ˃ 0, х < 5.

ВІДПОВІДЬ:  [0; 5)

ПРИКЛАД;

Знайдіть координати вершини параболи:

у = 2х² + 4х – 1.

Координати вершини параболи можна знайти таким чином. Абсцису вичислимо по формулі

Маємо:

Підставивши

х = –1

у рівняння

у = 2х² + 4х – 1,

знайдемо ординату вершини параболи:

у = 2 × (–1)² + 4(–1) – 1 = –3.

Координати вершини параболи

(–1; –3).

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Область визначення функції виходить із умови, що підкорене вираз не може бути негативним:

56 – х – х² ≥ 0.

Вирішуємо квадратне рівняння та знаходимо коріння:

х₁ = 8, х₂ = –7.

(х – 7)(х + 8) ≤ 0,

х ∈ [–8; 7],

х ≤ –7, х ≥ –8.

а також з умови, що знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:

х² – 49 ≠ 0,

х² ≠ 49, х ≠ ±7.

ВІДПОВІДЬ:  [–8; –7) ∪ (–7; 7)

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Область визначення функції виходить із умови, що підкорене вираз не може бути негативним:

х² – 3х – 4 ≥ 0.

Вирішуємо квадратне рівняння та знаходимо коріння:

х₁ = 4, х₂ = –1.

(х – 4)(х + 1) ≥ 0,

х ≤ –1, х ≥ 4.

а також з умови, що знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:

16 – х² ≠ 0,

х² ≠ 16, х ≠ ±4.

ВІДПОВІДЬ:

(–∞; –4) ∪ (–4; –1] ∪ (4; +∞)

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ОДЗ: 90 – х – х² ˃ 0,

х² + х – 90 < 0,

(х + 10)(х – 9) < 0,

х ∈ (–10; 9).

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ОДЗ: 3х² – 10х + 3 ≥ 0,

 (х – ¹/₃)(х – 3) ≥ 0,

х ∈ (–∞; ¹/₃] ∪ [3; +∞).

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Областю визначення функції

є будь-які значення  х, бо

2х² + 7 ≠ 0.

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х ∈ (–¹/₃; 0] ∪ [3; +∞).

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х ∈ [–3; 4) ∪ (4; 6].

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

х ∈ (–∞; –5) ∪ [2; 3,5) ∪ (3,5; +∞).

Простою квадратичною функцією є функція виду

у = х².

Це – необмежена парна функція, визначена для усіх дійсних значень аргументу  х.

Це – необмежена парна функція, визначена всім дійсних значень аргументу  x. За  х ˃ 0  вона зростаюча, а за  х < 0 – спадна.

При  х ˃ 0  вона зростає, а при  х < 0 – що убуває.

Областю значення функції 

у = х²

є усі ненегативні числа.

ПРИКЛАД:

Функція  f(x) = x²  задана на відрізку  [0; 3]. Чи оборотна вона ? Напишіть формулу, якою задається функція  g, обернена до  f. Яка область визначення і множина значень функції  g ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На відрізку  [0; 3]  різним значенням змінної  х  відповідають різні значення  f(x). Отже, функція  f  оборотна. Вона кожному числу  х  з проміжку  [0; 3]  ставить у відповідність його квадрат (число з проміжку  [0; 9]). Тому обернена до неї функція кожному дійсному числу  х  з проміжку  [0; 9]  ставить у відповідність його арифметичний квадратний корінь з проміжку  [0; 3]. Отже, функцію  g  можна задати такою формулою:

g(x) = √͞͞͞͞͞x ,  х ∈ [0; 9].

Область визначення функції  g  є відрізок  [0; 9], а множина значень – [0; 3]. Функція  f(x) = √͞͞͞͞͞x   задана на відрізку  [0; 9].

ПРИКЛАД:

Функція  f(x) = x²  задана на відрізку  [–3; 3]. Чи оборотна вона ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дана функція  f  двом протилежним значенням змінної  х  з проміжку   [–3; 3]  ставить у відповідність то саме число. Наприклад

f(–2) = 4  і  f(2) = 4.

Тому відповідність, обернена до  f, не є функцією. Отже, функція  f  не оборотна.

Завдання до уроку 24

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3
• Завдання 4

Інші уроки:

• Урок 1. Координатна площина
• Урок 2. Діаграми
• Урок 3. Графіки
• Урок 4. Множини
• Урок 5. Що таке функція ?
• Урок 6. Аналітичній спосіб задання функції
• Урок 7. Табличний спосіб задання функції
• Урок 8. Графічний спосіб задання функції
• Урок 9. Знаходження області визначення і області значення функції аналітичним способом
• Урок 10. Знаходження області визначення і області змині за допомогою графіка
• Урок 11. Нулі функції
• Урок 12. Зростання і спадання функції
• Урок 13. Екстремальні значення функцій
• Урок 14. Симетричні функції
• Урок 15. Парні і непарні функції
• Урок 16. Функція, зворотна даною
• Урок 17. Лінійна функція
• Урок 18. Графік лінійної функції
• Урок 19. Пряма пропорційність
• Урок 20. Графік прямої пропорціональності
• Урок 21. Взаємне розташування графіків лінійних функцій
• Урок 22. Функція обернено пропорціональної залежності
• Урок 23. Графік функції обернено пропорціональної залежності
• Урок 25. Графік функції  у = aх² + b
• Урок 26. Графік функції  у = a(х - m)² + n
• Урок 27. Графік функції  у = aх² + bx + c
• Урок 28. Функція  у = √͞͞͞͞͞х   і її графік
• Урок 29. Функція  у = хⁿ   і її графік
• Урок 30. Побудова графіків функцій методом геометричних перетворень