Уроки математики и физики (RU + UA)

пятница, 22 сентября 2017 г.

Урок 24. Квадратична функція

Квадратичною (або квадратною) називають функцію, яку можна виразити формулою

у = aх2 + bх + c,

де  х – аргумент,  а ≠ 0,  b  і  c – дані числа.

Найпростішою квадратичною функцією є функція вигляду

у = х2.

Це – необмежена парна функція, визначена для всіх дійсних значень аргументу  х. При  х ˃ 0  вона зростаюча, а при  х < 0 – спадна.
Всяку квадратичну функцію можна задати рівнянням виду:

у = a(х – m)2 + n.

Для цього виділимо з тричлена квадрат двочлена:
Рівняння

у = aх2 + bх + c

рівносильне рівнянню:
Позначимо значення виразів
відповідно через  m  і  n.
Тоді рівняння набирає вигляду:

у = a(х – m)2 + n.

де  m  і  n – координати вершини квадратичної функції або

Квадратичну функцію можна записати:

у вигляді багаточлена:

у = aх2 + bх + c, где  а ≠ 0;

Наприклад, у = 4х224х + 20.

у вигляді розкладання на множники (якщо коріння відповідного квадратного тричлена існує):

у = а(х –х1)(х – х2);

Наприклад, у = 4(х –1)(х – 5);

у вигляді виділеного повного квадрата;

у = a(х – m)2 + n

Наприклад, у = 4(х – 3)216.

Область визначення функції – всі дійсні числа, тобто  D = R.

Безліч значень функції.

Якщо  а ˃ 0, то  E = [yв; +∞).

Якщо  а < 0, то  E = (–∞; yв],

де  хв  і  yв – координати вершини параболи.

ПРИКЛАД:

Дослідити на екстремум функцію 

у = х2 + 2х + 5.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

у = х2 + 2х + 5 =

= (х + 1)2 + 5.

Вираз 

(х + 1)2 

завжди додатний і тільки при  х = –1  дорівнює нулю.

Отже, в точці  х = –1  дана функція має мінімум. Максимуму функція не має.

ПРИКЛАД:

Якого найбільшого значення набуває функція ?

6х2х4 – 6.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

f(x) = 6х2х4 – 6 =

(– х4 + 2 3х2 – 32) + 3 =

=–(х4 – 2 3х2 + 32) + 3 =

–(х2 – 3)2 + 3.

 Максимального значення функція набуде тоді, коли  –(х2 – 3)2 = 0, тому  f(x)max = 3.

ВІДПОВІДЬ:  3

ПРИКЛАД:

При яких значеннях  а  і  с  вершина параболи

y = аx2 + 6x + c

знаходиться в точці

А(1; 7) ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Вершина параболи  y = аx2 + 6x + c  має координати:

звідки  а = –3.

у(1) = –3 12 + 6 1 + с = 7.

звідсис = 4.

ВІДПОВІДЬ:  а = –3, с = 4

ПРИКЛАД:

При якому значенні  с  найбільше значення функції

у = –0,5x2 + 4x + с

дорівнює  –2 ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Вершина параболи  y = –0,5x2 + 4x + с  має координати:

Тому максимальне значення  2  функція набуває у точці  х = 4. Звідси

2 = –0,5 42 + 4 4 + сс = –10.

Отже, максимальне значення  2  функція набуває, якщо  с = 10.

ВІДПОВІДЬ:  с = –10

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Область визначення функції виходить із умови, що підкорене вираз не може бути негативним:

6хх2 0,  х2 – 6х 0,  0 х 6.

А також з умови, що знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:

5 – х ˃ 0, х < 5.

ВІДПОВІДЬ:  [0; 5)

ПРИКЛАД;

Знайдіть координати вершини параболи:

у = 2х2 + 4х – 1.

Координати вершини параболи можна знайти таким чином. Абсцису вичислимо по формулі
Маємо:
Підставивши

х = –1

у рівняння

у = 2х2 + 4х – 1,

знайдемо ординату вершини параболи:

у = 2 × (–1)2 + 4(–1)1 = –3.

Координати вершини параболи

(–1; –3).

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Область визначення функції виходить із умови, що підкорене вираз не може бути негативним:

56 – хх2 0.

Вирішуємо квадратне рівняння та знаходимо коріння:
х1 = 8, х2 = –7.

(х – 7)(х + 8) 0,

х [–8; 7],

х –7, х –8.

а також з умови, що знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:

х2 – 49 ≠ 0,

х2 ≠ 49, х ±7.

ВІДПОВІДЬ:  [–8; –7) (–7; 7)

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Область визначення функції виходить із умови, що підкорене вираз не може бути негативним:

х2 – 3х – 4 0.

Вирішуємо квадратне рівняння та знаходимо коріння:
х1 = 4, х2 = –1.

(х – 4)(х + 1) 0,

х –1, х 4.

а також з умови, що знаменник дробу не повинен дорівнювати нулю:

16 – х2 ≠ 0,

х2 ≠ 16, х ±4.

ВІДПОВІДЬ:

(–∞; –4) (–4; 1] (4; +∞)

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ОДЗ: 90 – хх2 ˃ 0,

х2 + х – 90 < 0,

(х + 10)(х – 9) < 0,

х (–10; 9).

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ОДЗ: 3х2 – 10х + 3 ≥ 0,

 (х1/3)(х – 3) ≥ 0,

х (–∞; 1/3] [3; +∞).

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Областю визначення функції

є будь-які значення  х, бо

2х2 + 7 0.

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
х (–1/3; 0] [3; +).

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
х [–3; 4) (4; 6].

ПРИКЛАД:

Знайдіть область визначення функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
х (–∞; –5) [2; 3,5) (3,5; +∞).

Простою квадратичною функцією є функція виду

у = х2.

Це – необмежена парна функція, визначена для усіх дійсних значень аргументу  х.
Це – необмежена парна функція, визначена всім дійсних значень аргументу  x. За  х ˃ 0  вона зростаюча, а за  х < 0 – спадна.
При  х ˃ 0  вона зростає, а при  х < 0 – що убуває.
Областю значення функції 

у = х2

є усі ненегативні числа.

ПРИКЛАД:

Функція  f(x) = x2  задана на відрізку  [0; 3]. Чи оборотна вона ? Напишіть формулу, якою задається функція  g, обернена до  f. Яка область визначення і множина значень функції  g ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

На відрізку  [0; 3]  різним значенням змінної  х  відповідають різні значення  f(x). Отже, функція  f  оборотна. Вона кожному числу  х  з проміжку  [0; 3]  ставить у відповідність його квадрат (число з проміжку  [0; 9]). Тому обернена до неї функція кожному дійсному числу  х  з проміжку  [0; 9]  ставить у відповідність його арифметичний квадратний корінь з проміжку  [0; 3]. Отже, функцію  g  можна задати такою формулою:

g(x) = √͞͞͞͞͞x х [0; 9].

Область визначення функції  g  є відрізок  [0; 9], а множина значень – [0; 3]. Функція  f(x) = √͞͞͞͞͞x   задана на відрізку  [0; 9].

ПРИКЛАД:

Функція  f(x) = x2  задана на відрізку  [–3; 3]. Чи оборотна вона ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дана функція  f  двом протилежним значенням змінної  х  з проміжку   [–3; 3]  ставить у відповідність то саме число. Наприклад

f(–2) = 4  і  f(2) = 4.

Тому відповідність, обернена до  f, не є функцією. Отже, функція  f  не оборотна.

Завдання до уроку 24
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий