Урок 25. График функции у = aх2 и у = aх2 + b

Графиком функции

у = х².

будет кривая линия, которая называется параболою. Область определения – множество всех действительных чисел. Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента  х:

Обозначим точки, координаты которых приведены в этой таблице.

Если бы на координатной плоскости обозначили больше точек с координатами  х  и  у, которые соответствуют формуле  у = х², они разместились бы так, как показано на рисунку.

Когда для каждого действительного значения  х  в формуле  у = х²  вычислили соответствующее значение  у  и обозначили точки с этими координатами на координатной плоскости то получили бы такой график

Точка с координатами  (0; 0)  делит параболу на две равные части, каждую из которых называют веткой параболы, а саму точку – вершиной параболы.

Построенный график даёт возможность наглядно определить свойства функции.

– если  х = 0, то и  у = 0  (график проходит через точку  0(0; 0));

– при всех значениях  х  значения функции неотрицательные (ниже оси  х  нет ни одной точки графика);

– противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции (график симметричный относительно оси  у);

– когда  х < 0, функция уменьшается (её график <<идёт вниз>>), а когда  х ˃ 0, функция растёт (её график направлен вверх).

Квадратичная функция вида

у = aх².

Также чётная, неограниченная, определённая для всех действительных  х. Её график также парабола, проходящая через начало координат и симметричная оси ординат. Но при положительных значениях  а  ветви её направлены вверх, а при  а < 0 – вниз. Чем меньше абсолютная величина  а, тем дальше отходят ветки параболы от оси ординат, тем <<шире>> она.

График функции  у = aх² + b.

Рассмотрим преобразование графика функции  у = f(х). Это построение графика функции

у = f(х) + n.

График функции  у = f(х) + n  получается из графика функции  у = f(х)  с помощью параллельного переноса вдоль оси ординат на  n  единиц. Вверх при  n > 0  и вниз при  n < 0.

ПРИМЕР:

Построим график функции

у = –х² – 2. 

РЕШЕНИЕ:

График функции

у = –х² – 2. 

Получается из графика функции

у = –х². 

Параллельным переносом вдоль оси ординат на  2  единицы вниз, т. к.  

n = –2 < 0.

ПРИМЕР:

Построим график функции

у = 2х² + 4. 

РЕШЕНИЕ:

Это значит, что парабола, которая является графиком функции

у = 2х²,

перемещается на четыре единицы вверх по оси  у. При этом все значения  у  увеличиваются на  4.

Таблица значений 

у = 2х².

Таблица значений

у = 2х² + 4.

Мы видим по таблице, что вершина параболы второй функции на  4  единицы выше вершины параболы первой (её координаты (0; 4)). А значения  у  второй функции на  4  больше значений  у  первой функции.

Графиком функции

у = aх² + b

является параболой, которую можно получить из графика функции

у = aх²

с помощью параллельного переноса вдоль оси  у  на  b  единиц вверх, если  b > 0, или на  –b  единиц вниз, если  b < 0.

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

РЕШЕНИЕ:

ОДЗ:  (–∞; 0) ∪ (0; + ∞).

Тогда:

Учитывая определение модуля, будем иметь:

 1)  если  х ˃ 0, то

 2)  если  х < 0, то

Поэтому,

Искомый график на рисунке.

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

РЕШЕНИЕ:

ОДЗ:  (–∞; 0) ∪ (0; + ∞).

Тогда:

Учитывая определение модуля, будем иметь:

 1)  если  х ˃ 0, то

 2)  если  х < 0, то

Поэтому,

Искомый график на рисунке.

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

РЕШЕНИЕ:

ОДЗ:  (–∞; 0) ∪ (0; + ∞).

Тогда:

Учитывая определение модуля, будем иметь:

 1)  если  х ˃ 0, то  |х| = х,

 2)  если  х < 0, то  |х| = –х,

Поэтому,

Точка пересечения с осью  Ох:

у = 0, 

–х² + 2 = 0, х = –√͞͞͞͞͞2.

Искомый график на рисунке.

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

РЕШЕНИЕ:

ОДЗ:  (–∞; 0) ∪ (0; + ∞).

Тогда:

Учитывая определение модуля, будем иметь:

 1)  если  х ˃ 0, то

 2)  если  х < 0, то

Поэтому,

Искомый график на рисунке.

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

Пользуясь построенным графиком, найдите промежутки роста и убывания функции.

РЕШЕНИЕ:

При  х ≤ 1  графиком функции будет часть параболы

у = х²

с промежутком убывания  (–∞; 0]  и промежутком роста  [0; 1].

При  х ˃ 1  графике функции будет часть гиперболы

с промежутком убывания  (1; +∞).
Искомый график на рисунке.

ОТВЕТ:  промежуток роста: [0; 1],

промежутки убывания  (–∞; 0]  и  (1; +∞): 

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

РЕШЕНИЕ:

Данное уравнение равносильно системе:

Поэтому графиком данного уравнения будет парабола   у = х²  без точки 
(–1; 1).

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

РЕШЕНИЕ:

Областью определения функции

есть все действительные числа.

Графиком данной функции является парабола
у = х² – 1.

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

РЕШЕНИЕ:

Областью определения функции

есть все действительные числа, кроме чисел  –2  и  2. Тогда

Графиком данной функции является парабола

у = х² + 4

без точек  (–2; 8); (2; 8).

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

РЕШЕНИЕ:

Данное уравнение равносильно системе

Поэтому графиком данной функции является парабола  у = – х²  без точки  (1; –1).

ПРИМЕР:

Постройте график функции:

РЕШЕНИЕ:
Областью определения функции

есть все действительные числа, кроме чисел  –2  и  2. Тогда

Графиком данной функции является парабола

у = х² + 1

без точек  (–2; 5); (2; 5).

Задания к уроку 25

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Координатная плоскость
• Урок 2. Диаграммы
• Урок 3. Графики
• Урок 4. Множества
• Урок 5. Что такое функция ?
• Урок 6. Аналитический способ задания функции
• Урок 7. Табличный способ задания функции
• Урок 8. Графический способ задания функции
• Урок 9. Нахождение области определения и области значения функции аналитическим методом
• Урок 10. Нахождение области определения и области значения функции с помощью графика
• Урок 11. Нули функции
• Урок 12. Возрастание и убывание функции
• Урок 13. Экстремальные значения функции
• Урок 14. Симметричные функции
• Урок 15. Чётные и нечётные функции
• Урок 16. Функция, обратная данной
• Урок 17. Линейная функция
• Урок 18. График линейной функции
• Урок 19. Прямая пропорциональность
• Урок 20. График прямой пропорциональности
• Урок 21. Взаимное расположение графиков линейных функций
• Урок 22. Функция обратно пропорциональной зависимости
• Урок 23. График функции обратно пропорциональной зависимости
• Урок 24. Квадратичная функция
• Урок 26. График функции  у = a(х - m)² + n
• Урок 27. График функции  у = aх² + bx + c
• Урок 28. Функция  y = √͞͞͞͞͞х и её график 
• Урок 29. Функция  y = хⁿ и её график
• Урок 30. Построение графиков функций методом геометрических преобразований