Уроки математики и физики (RU + UA)

понедельник, 11 июня 2018 г.

Урок 25. График функции у = aх2 и у = aх2 + b

Графиком функции

у = х2.

будет кривая линия, которая называется параболою. Область определения – множество всех действительных чисел. Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента  х:
Обозначим точки, координаты которых приведены в этой таблице.
Если бы на координатной плоскости обозначили больше точек с координатами  х  и  у, которые соответствуют формуле  у = х2, они разместились бы так, как показано на рисунку.
Когда для каждого действительного значения  х  в формуле  у = х2  вычислили соответствующее значение  у  и обозначили точки с этими координатами на координатной плоскости то получили бы такой график
Точка с координатами  (0; 0)  делит параболу на две равные части, каждую из которых называют веткой параболы, а саму точку – вершиной параболы.

Построенный график даёт возможность наглядно определить свойства функции.

– если  х = 0, то и  у = 0  (график проходит через точку  0(0; 0));
– при всех значениях  х  значения функции неотрицательные (ниже оси  х  нет ни одной точки графика);
– противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции (график симметричный относительно оси  у);
– когда  х < 0, функция уменьшается (её график <<идёт вниз>>), а когда  х ˃ 0, функция растёт (её график направлен вверх).

Квадратичная функция вида

у = 2.

Также чётная, неограниченная, определённая для всех действительных  х. Её график также парабола, проходящая через начало координат и симметричная оси ординат. Но при положительных значениях  а  ветви её направлены вверх, а при  а < 0 – вниз. Чем меньше абсолютная величина  а, тем дальше отходят ветки параболы от оси ординат, тем <<шире>> она.

График функции  у = 2 + b.

Рассмотрим преобразование графика функции  у = f(х). Это построение графика функции

у = f(х) + n.

График функции  у = f(х) + n  получается из графика функции  у = f(х)  с помощью параллельного переноса вдоль оси ординат на  n  единиц. Вверх при  n > 0  и вниз при  n < 0.

ПРИМЕР:

Построим график функции

у = –х2 – 2

РЕШЕНИЕ:

График функции

у = –х2 – 2

Получается из графика функции

у = –х2

Параллельным переносом вдоль оси ординат на  2  единицы вниз, т. к.  

n = –2 < 0.
ПРИМЕР:

Построим график функции

у = 2х2 + 4

РЕШЕНИЕ:

Это значит, что парабола, которая является графиком функции

у = 2х2,

перемещается на четыре единицы вверх по оси  у. При этом все значения  у  увеличиваются на  4.

Таблица значений 

у = 2х2.
Таблица значений

у = 2х2 + 4.
Мы видим по таблице, что вершина параболы второй функции на  4  единицы выше вершины параболы первой (её координаты (0; 4)). А значения  у  второй функции на  4  больше значений  у  первой функции.
Графиком функции

у = aх2 + b

является параболой, которую можно получить из графика функции

у = aх2

с помощью параллельного переноса вдоль оси  у  на  b  единиц вверх, если  b > 0, или на  –b  единиц вниз, если  b < 0.

ПРИМЕР:

Постройте график функции:
РЕШЕНИЕ:

ОДЗ:  (–∞; 0) (0; + ∞).

Тогда:
Учитывая определение модуля, будем иметь:

 1)  если  х ˃ 0, то
 2)  если  х < 0, то
Поэтому,
Искомый график на рисунке.
ПРИМЕР:

Постройте график функции:
РЕШЕНИЕ:

ОДЗ:  (–∞; 0) (0; + ∞).

Тогда:
Учитывая определение модуля, будем иметь:

 1)  если  х ˃ 0, то
 2)  если  х < 0, то
Поэтому,
Искомый график на рисунке.
ПРИМЕР:

Постройте график функции:
РЕШЕНИЕ:

ОДЗ:  (–∞; 0) (0; + ∞).

Тогда:

Учитывая определение модуля, будем иметь:

 1)  если  х ˃ 0, то  |х| = х,
 2)  если  х < 0, то  |х| = –х,
Поэтому,
Точка пересечения с осью  Ох:

у = 0

х2 + 2 = 0, х = –√͞͞͞͞͞2.

Искомый график на рисунке.
ПРИМЕР:

Постройте график функции:
РЕШЕНИЕ:

ОДЗ:  (–∞; 0) (0; + ∞).

Тогда:
Учитывая определение модуля, будем иметь:

 1)  если  х ˃ 0то
 2)  если 
х < 0, то
Поэтому,
Искомый график на рисунке.
ПРИМЕР:

Постройте график функции:
Пользуясь построенным графиком, найдите промежутки роста и убывания функции.

РЕШЕНИЕ:

При  х ≤ 1  графиком функции будет часть параболы

у = х2

с промежутком убывания  (–; 0]  и промежутком роста  [0; 1].

При  х ˃ 1  графике функции будет часть гиперболы
с промежутком убывания  (1; +).
Искомый график на рисунке.
ОТВЕТ:  промежуток роста: [0; 1],

промежутки убывания  (–; 0]  и  (1; +)

ПРИМЕР:

Постройте график функции:
РЕШЕНИЕ:
Данное уравнение равносильно системе:
Поэтому графиком данного уравнения будет парабола   у = х2  без точки 
(–1; 1).
ПРИМЕР:

Постройте график функции:
РЕШЕНИЕ:

Областью определения функции
есть все действительные числа.
Графиком данной функции является парабола
у = х2 – 1.
ПРИМЕР:

Постройте график функции:
РЕШЕНИЕ:

Областью определения функции
есть все действительные числа, кроме чисел  –2  и  2. Тогда
Графиком данной функции является парабола

у = х2 + 4

без точек  (–2; 8); (2; 8).
ПРИМЕР:

Постройте график функции:
РЕШЕНИЕ:
Данное уравнение равносильно системе
Поэтому графиком данной функции является парабола  у = – х2  без точки  (1; –1).
ПРИМЕР:

Постройте график функции:
РЕШЕНИЕ:
Областью определения функции
есть все действительные числа, кроме чисел  –2  и  2. Тогда
Графиком данной функции является парабола

у = х2 + 1

без точек  (–2; 5); (2; 5).
Задания к уроку 25
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий