Урок 25. Графік функції у = aх2 і у = aх2 + b

Графік функції  у = х².

Графіком функції

у = х².

є крива лінія, що називається параболою.

Область її визначення – множина всіх дійсних чисел.

Складемо таблицю значень функції для деяких значень аргументу  х:

Позначимо точки, координати яких подані у цій таблиці.

Якби на координатній площині позначили більше точок з
координатами  х  і  у, що задовольняють формулу  у = х², вони розмістились так, як показано на малюнку.

Коли б для кожного дійсного значення  х  за формулою  у = х²  обчислили відповідне значення  у  і позначили точки з такими координатами на координатній площині, дістали б

Точка з координатами  (0; 0)  ділить параболу на дві рівні частини, кожну з яких називають гілкою параболи, а саму точку – вершиною параболи.

Парабола проходить через початок координат, симетрична відносно осі ординат, її вітки направлені вгору.

Побудований графік дає змогу наочно виявити властивості функції.

– якщо  х = 0, то і  у = 0  (графік проходить через точку  0(0; 0));

– при всіх значеннях  х  значення функції невід’ємні (нижче від осі  х  немає жодної точки графіка);

– протилежним значенням аргументу відповідають рівні значення функції (графік симетричний відносно осі  у);

– коли  х < 0, функція спадає (її графік <<іде вниз>>), а коли  х ˃ 0, функція зростає (її графік напрямлений вгору).

Квадратична функція вигляду

у = aх²

також парна, необмежена, неперіодична. Її графік також парабола, яка проходить через початок координат і симетрична відносно осі ординат. Але при додатних  а  вітки її напрямлені вгору, а при  а < 0 – вниз. Чим менша абсолютна величина  а, тем далі відходять вітки параболи від осі ординат, тим вона <<ширша>>..

График функции  у = aх² + b

Розглянемо перетворення графіку функції  у = f(х). Ця побудова графіка функції

у = f(х) + n.

Графік функції  у = f(х) + n  виходить з графіку функції  у = f(х)  за допомогою паралельного перенесення уздовж осі ординат на  n  одиниць. Вгору при  n > 0  і вниз при  n < 0.

ПРИКЛАД:

Побудуємо графік функції

у = –х² – 2. 

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Графік функції

у = –х² – 2. 

Виходить з графіку функції

у = –х² 

паралельним перенесенням уздовж осі ординат на  2  одиниці вниз, т. к.  n = –2 < 0. 

ПРИКЛАД:

Побудуємо графік функції

у = 2х² + 4. 

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Це означає, що парабола, яка є графіком функції

у = 2х²,

переміщається на чотири одиниці вгору по осі  у. При цьому усі значення  у  збільшуються на  4.

Таблиця значень

у = 2х².

Таблиця значень

у = 2х² + 4.

Ми бачимо по таблиці, що вершина параболи другої функції на  4  одиниці вища за вершину параболи першої (її координати (0; 4)). А значення  у  другої функції на  4  більше значень  у  першої функції. 

Квадратична функція вигляду

у = aх²

також парна, необмежена, неперіодична. Її графік також парабола, яка проходить через початок координат і симетрична відносно осі ординат. Але при додатних  а  вітки її напрямлені вгору, а при  а < 0 – вниз. Чим менша абсолютна величина  а, тем далі відходять вітки параболи від осі ординат, тим вона <<ширша>>.

Графіком функції

у = aх² + b

є параболою, яку можна отримати з графіку функції

у = aх²

с допомогою паралельного перенесення уздовж осі  у  на  b  одиниць вгору, якщо  b > 0, або на  –b  одиниць вниз, якщо  b < 0.

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ОДЗ:  (–∞; 0) ∪ (0; + ∞).

Тоді:

Враховуючи означення модуля, матимемо:

 1)  якщо  х ˃ 0, то

 2)  якщо  х < 0, то

Отже,

Шуканий графік на рисунку.

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ОДЗ:  (–∞; 0) ∪ (0; + ∞).

Тоді:

Враховуючи означення модуля, матимемо:

 1)  якщо  х ˃ 0, то

2)  якщо  х < 0, то

Отже,

Шуканий графік на рисунку.

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:.

ОДЗ:

(–∞; 0) ∪ (0; + ∞).

Враховуючи означення модуля, матимемо:

 1)  якщо  х ˃ 0, то  |х| = х, а тому Тоді:

 2)  якщо  х < 0, то  |х| = –х, а тому

Отже,

Точка перетину з віссю  Ох:

у = 0, 

–х² + 2 = 0, х = –√͞͞͞͞͞2.

Шуканий графік див. На рисунку.

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ОДЗ:  (–∞; 0) ∪ (0; + ∞).

Тоді:

Враховуючи означення модуля, матимемо:

 1)  якщо  х ˃ 0, то

 2)  якщо  х < 0, то

Отже,

Шуканий графік на рисунку.

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

Користуючись побудованим графіком, знайдіть проміжки зростання і спадання функції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

При  х ≤ 1  графіком функції буде частина параболи

у = х²

з проміжком спадання  (–∞; 0]  і проміжком зростання  [0; 1].

При  х ˃ 1  графіком функції буде частина гіперболи

з проміжком спадання  (1; +∞).
Шуканий графік на рисунку.

ВІДПОВІДЬ:  проміжок зростання: [0; 1],

проміжки спадання  (–∞; 0]  і  (1; +∞): 

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дане рівняння рівносильне системі:

Тому графіком даного рівняння буде парабола  у = х²  без точки 
(–1; 1).

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Областю визначення функції

є всі дійсні числа.

Графіком даної функції є парабола
у = х² – 1.

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Областю визначення функції

є всі дійсні числа, крім чисел  –2  і  2. Тоді

Графіком даної функції є парабола

у = х² + 4

без точок  (–2; 8); (2; 8).

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дане рівняння рівносильне системі

Тому графіком даного рівняння є парабола  у = – х²  без точки  (1; –1):

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Областю визначення функції

є всі дійсні числа, крім чисел  –2  і  2. Тоді

Графіком даної функції є парабола

у = х² + 1

без точок  (–2; 5); (2; 5).

Завдання до уроку 25

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Координатна площина
• Урок 2. Діаграми
• Урок 3. Графіки
• Урок 4. Множини
• Урок 5. Що таке функція ?
• Урок 6. Аналітичній спосіб задання функції
• Урок 7. Табличний спосіб задання функції
• Урок 8. Графічний спосіб задання функції
• Урок 9. Знаходження області визначення і області значення функції аналітичним способом
• Урок 10. Знаходження області визначення і області змині за допомогою графіка
• Урок 11. Нулі функції
• Урок 12. Зростання і спадання функції
• Урок 13. Екстремальні значення функцій
• Урок 14. Симетричні функції
• Урок 15. Парні і непарні функції
• Урок 16. Функція, зворотна даною
• Урок 17. Лінійна функція
• Урок 18. Графік лінійної функції
• Урок 19. Пряма пропорційність
• Урок 20. Графік прямої пропорціональності
• Урок 21. Взаємне розташування графіків лінійних функцій
• Урок 22. Функція обернено пропорціональної залежності
• Урок 23. Графік функції обернено пропорціональної залежності
• Урок 24. Квадратична функція
• Урок 26. Графік функції  у = a(х - m)² + n
• Урок 27. Графік функції  у = aх² + bx + c
• Урок 28. Функція  у = √͞͞͞͞͞х   і її графік
• Урок 29. Функція  у = хⁿ   і її графік
• Урок 30. Побудова графіків функцій методом геометричних перетворень