Уроки математики и физики (RU + UA)

воскресенье, 17 июня 2018 г.

Урок 25. Графік функції у = aх2 і у = aх2 + b

Графік функції  у = х2.

Графіком функції

у = х2.

є крива лінія, що називається параболою.
Область її визначення – множина всіх дійсних чисел.

Складемо таблицю значень функції для деяких значень аргументу  х:
Позначимо точки, координати яких подані у цій таблиці.
Якби на координатній площині позначили більше точок з
координатами  х  і  у, що задовольняють формулу  у = х2, вони розмістились так, як показано на малюнку.
Коли б для кожного дійсного значення  х  за формулою  у = х2  обчислили відповідне значення  у  і позначили точки з такими координатами на координатній площині, дістали б
Точка з координатами  (0; 0)  ділить параболу на дві рівні частини, кожну з яких називають гілкою параболи, а саму точку – вершиною параболи.
Парабола проходить через початок координат, симетрична відносно осі ординат, її вітки направлені вгору.
Побудований графік дає змогу наочно виявити властивості функції.

– якщо  х = 0, то і  у = 0  (графік проходить через точку  0(0; 0));
– при всіх значеннях  х  значення функції невід’ємні (нижче від осі  х  немає жодної точки графіка);
– протилежним значенням аргументу відповідають рівні значення функції (графік симетричний відносно осі  у);
– коли  х < 0, функція спадає (її графік <<іде вниз>>), а коли  х ˃ 0, функція зростає (її графік напрямлений вгору).

Квадратична функція вигляду

у = 2

також парна, необмежена, неперіодична. Її графік також парабола, яка проходить через початок координат і симетрична відносно осі ординат. Але при додатних  а  вітки її напрямлені вгору, а при  а < 0 – вниз. Чим менша абсолютна величина  а, тем далі відходять вітки параболи від осі ординат, тим вона <<ширша>>..

График функции  у = aх2 + b

Розглянемо перетворення графіку функції  у = f(х). Ця побудова графіка функції

у = f(х) + n.

Графік функції  у = f(х) + n  виходить з графіку функції  у = f(х)  за допомогою паралельного перенесення уздовж осі ординат на  n  одиниць. Вгору при  n > 0  і вниз при  n < 0.

ПРИКЛАД:

Побудуємо графік функції

у = –х2 – 2

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Графік функції

у = –х2 – 2

Виходить з графіку функції

у = –х2 

паралельним перенесенням уздовж осі ординат на  2  одиниці вниз, т. к.  n = –2 < 0
ПРИКЛАД:

Побудуємо графік функції

у = 2х2 + 4

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Це означає, що парабола, яка є графіком функції

у = 2х2,

переміщається на чотири одиниці вгору по осі  у. При цьому усі значення  у  збільшуються на  4.
Таблиця значень

у = 2х2.
Таблиця значень

у = 2х2 + 4.
Ми бачимо по таблиці, що вершина параболи другої функції на  4  одиниці вища за вершину параболи першої (її координати (0; 4)). А значення  у  другої функції на  4  більше значень  у  першої функції. 

Квадратична функція вигляду

у = 2

також парна, необмежена, неперіодична. Її графік також парабола, яка проходить через початок координат і симетрична відносно осі ординат. Але при додатних  а  вітки її напрямлені вгору, а при  а < 0 – вниз. Чим менша абсолютна величина  а, тем далі відходять вітки параболи від осі ординат, тим вона <<ширша>>.

Графіком функції

у = 2 + b

є параболою, яку можна отримати з графіку функції

у = 2

с допомогою паралельного перенесення уздовж осі  у  на  b  одиниць вгору, якщо  b > 0, або на  –b  одиниць вниз, якщо  b < 0.

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ОДЗ:  (–∞; 0) (0; + ∞).

Тоді:
Враховуючи означення модуля, матимемо:

 1)  якщо  х ˃ 0, то

 2)  якщо  х < 0, то
Отже,
Шуканий графік на рисунку.
ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ОДЗ:  (–∞; 0)  (0; + ∞).

Тоді:
Враховуючи означення модуля, матимемо:

 1)  якщо  х ˃ 0, то
2)  якщо  х < 0то
Отже,
Шуканий графік на рисунку.
ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції
:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:.

ОДЗ:

(–∞; 0) (0; + ∞).

Враховуючи означення модуля, матимемо:

 1)  якщо  х ˃ 0, то  |х| = х, а тому Тоді:
 
2)  якщо  х < 0, то  |х| = –х, а тому
Отже,
Точка перетину з віссю  Ох:

у = 0

х2 + 2 = 0, х = –√͞͞͞͞͞2.

Шуканий графік див. На рисунку.
ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

ОДЗ:  (–∞; 0) (0; + ∞).

Тоді:
Враховуючи означення модуля, матимемо:

 1)  якщо  х ˃ 0, то
 2)  якщо  х < 0, то
Отже,
Шуканий графік на рисунку.
ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
Користуючись побудованим графіком, знайдіть проміжки зростання і спадання функції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

При  х ≤ 1  графіком функції буде частина параболи

у = х2

з проміжком спадання  (; 0]  і проміжком зростання  [0; 1].

При  х ˃ 1  графіком функції буде частина гіперболи
з проміжком спадання  (1; +).
Шуканий графік на рисунку.
ВІДПОВІДЬ:  проміжок зростання: [0; 1],

проміжки спадання  (; 0і  (1; +)

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Дане рівняння рівносильне системі:
Тому графіком даного рівняння буде парабола  у = х2  без точки 
(–1; 1).
ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Областю визначення функції
є всі дійсні числа.
Графіком даної функції є парабола
у = х2 – 1.
ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Областю визначення функції
є всі дійсні числа, крім чисел  –2  і  2. Тоді
Графіком даної функції є парабола

у = х2 + 4

без точок  (–2; 8); (2; 8).
ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Дане рівняння рівносильне системі
Тому графіком даного рівняння є парабола  у = – х2  без точки  (1; –1):
ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Областю визначення функції
є всі дійсні числа, крім чисел  –2  і  2. Тоді
Графіком даної функції є парабола

у = х2 + 1

без точок  (–2; 5); (2; 5).
Завдання до уроку 25
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий