Уроки математики и физики (RU + UA)

суббота, 14 июля 2018 г.

Урок 27. Графік функції  у = aх2 + bx + c

З'ясуємо, що є графіком квадратичної функції. Ми встановили, що графік функції, заданої рівнянням

у = a(х – m)2 + n,

є образом графіку функції

у = ах2

при паралельному перенесенні, що відображає початок координат на точку 

О'(m; n).

Всяку квадратичну функцію можна задати рівнянням виду:

у = a(х – m)2 + n.

Отже

Графік функції

у = 2 + bx + c

є парабола, конгруентна параболі

у = 2.

Віссю симетрії є пряма
Якщо  а < 0, то вітки параболи напрямлені вниз и значення
є найбільшим значенням функції,

Якщо  а < 0, то вітки параболи напрямлені вгору і значення
є найменшим значенням функції.

Якщо  D < 0, то парабола не перетинає осі абсцис, якщо  D = 0, то парабола дотикається до осі  х  у вершині, якщо D ˃ 0 , то парабола перетинає вісь  х  у точках:
Парабола перетинає вісь  у  в точці з координатами  (0; с).

Якщо квадратний тричлен  2 + bx + c  має два корені  х1  і  х2, парабола перетинає вісь абсцис у двох точках з координатами  (х1; 0), (х2; 0).
Якщо квадратний тричлен  2 + bx + c  єдиний корінь  х1, парабола має з віссю абсцис єдину загальну точку з координатами  (х1; 0).
Якщо квадратний тричлен  2 + bx + c  не має коріння, то парабола не має з віссю абсцис загальних точок.

Нулі функції  у = 2 + bx + c.

Значення аргументу, при яких значення функції  у = 2 + bx + c  дорівнюють нулю, є корінням квадратного тричлену  2 + bx + c. Можна визначити нулі функції та на графіку цієї функції.

ПРИКЛАД:

Знайдіть нулі функції:

у = 3х2 – 7x + 4.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Аналітичний метод.

Знайдемо коріння рівняння

3х2 – 7x + 4 = 0.
Графічний метод.

Побудуємо графік функції

у = 3х2 – 7x + 4.
З графіка видно, що функція перетворюється на нуль при

х = 1  і  х = 11/3.

ПРИКЛАД:

Знайдіть нулі функції:

у = 6х2x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Аналітичний метод.

Знайдемо коріння рівняння

6х2x = 0.
Графічний метод.

Побудуємо графік функції

у = 6х2 – x.
З графіка видно, що функція перетворюється на нуль при
х = 0  и  х =  1/6.

ПРИКЛАД:

Нехай вимагається побудувати графік функції, заданої рівнянням:

у = 1/2 х2 – 8х + 35.

Представимо це рівняння в іншому виді, виділивши з тричлена квадрат двочлена. Отримаємо рівняння

у = 1/2 (х – 8)2 + 3.

З'ясуємо, що є графіком цього рівняння.
Вичислимо координати декількох точок, що належать цьому графіку.
легко бачити, що найменше значення, рівне  3  функція приймає при  х = 8. Якщо значення  х  відрізняється від  8  на одно і теж число, то що відповідає їм значення  у  рівні. Наприклад, якщо  х = 6, то  у = 5, і якщо  х = 10, то  у = 5.
Побудувавши точки, координати яких вказані в таблиці, і з'єднавши їх плавною лінією, отримаємо графік функції

у = 1/2 (х – 8)2 + 3.
Отже, графік функції

у = 1/2 (х – 8)2 + 3

є парабола, що є образом параболи

у = 1/2 х2

при паралельному перенесенні, яке початок координат відображає на точку з координатами

(8; 3).

ПРИКЛАД;

Побудувати графік функції

у = 2х2 + 4х – 1.

Графіком цієї функції є парабола. Знайдемо координати її вершини. Для цього можна, виділивши з тричлена квадрат двочлена, представити рівняння

у = 2х2 + 4х – 1.

у виді

у = 2(х + 1)23.

Звідси ясно, що вершина параболи - точка з координатами

(–1; –3).

Побудувавши в координатній площині вершину параболи - точку з координатами

(–1; –3)

і знаючи, що віссю симетрії параболи служить пряма

х = –1

і що <<гілки>> параболи спрямовані вгору, ми можемо уявити собі загальний вигляд графіку функції

у = 2х2 + 4х – 1.

і що <<гілки>> параболи спрямовані вгору, ми можемо уявити собі загальний вигляд графіку функції
Побудувавши в координатній площині точки, координати яких занесені в таблицю, і з'єднавши їх плавною лінією, ми отримаємо графік функції

у = 2х2 + 4х – 1.

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції

у = –х2 – 6х – 5.

Користуючись графіком, знайдіть:

– множину значень функції;

– проміжок, на якому функція спадає.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графіком функції  у = –х2 – 6х – 5  є парабола, вітки якої напрямлені вниз. Знайдемо координати вершини параболи:
Точка  (–3; 4)  є вершиною даної параболи. Знайдемо абсциси точок перетину графіка функції з віссю  Ох:

–х26х – 5 = 0,

х1 = –5,  х2 = –1.

Графік цієї функції перетинає вісь ординат в точці  (0; –5).

Побудуємо графік заданої функції.
З малюнка видно, що:

 1)  множиною значень функції є проміжок  (–; 4].

 2)  функція спадає на проміжку  [–3; +).

ВІДПОВІДЬ:

множиною значень функції є проміжок  (–; 4],

функція спадає на проміжку  [–3; +)

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції

у = –х2 + 4х + 5.

Користуючись графіком, знайдіть:

– область значень функції;

– проміжок спадання функція.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дана функція є квадратичною функцією, графік – парабола, вітки якої напрямлені вниз.

Абсциса вершини параболи:
Ордината вершини:
Знайдемо точки перетину параболи є віссю абсцис:

–х2 + 4х + 5 = 0,

х24х – 5 = 0

х1 = –1,  х2 = 5.

Таким чином, парабола перетинає вісь абсцис у точках  (0; –1)  і  (0; 5). Знайдемо точку перетину парабол з віссю ординат:

у(0) = 5. Парабола перетинає вісь ординат у точці  (0; 5).

Використовуючи знайдені чотири точки параболи, виконаємо ії побудову.

Графік даної функції зображено на рисунку.
ВІДПОВІДЬ:

область значень функції є проміжок  (–; 9],

функція спадає на проміжку  [2; +)

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Областю визначення даної функції є всі дійсні числа, крім числа  0. Тоді на області визначення:
Графіком цієї функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору

(а  = 1 ˃ 0).

Координати вершини:
Парабола перетинає вісь  х  у точках с абсцисами  –3  і  1.

Графік заданої функції є парабола

у = x2 + 2x – 3  без точки  (0; –3).
ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Областю визначення даної функції є всі дійсні числа, крім числа  0. Тоді на області визначення:
Графіком цієї функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору

(а  = 1 ˃ 0).

Координати вершини:
Парабола перетинає вісь  х  у точках с абсцисами  –3  і  1.

Графік заданої функції є парабола

у = x2 + 2x – 3  без точки  (0; –3).
ПРИКЛАД:

Побудуйте графік і укажіть область значень функції

у = –х2 – 2х + 3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графіком функції  у = –х2 – 2х + 3  є парабола напрямлена вітками вниз.
Тому значення у її вершині є найбільшим якого вона досягає. Координати вершини:
тому областю значень функції є проміжок  (–; 4].

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік і укажіть область значень функції

f(x) = х2 + 8х – 3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графіком функції  f(x) = х2 + 8х – 3  є парабола напрямлена вітками вверх.
Знайдемо її вершину:
тому областю значень функції є проміжок  [–19; +).

ПРИКЛАД:

Знайдіть ординату вершини параболи, фрагмент якої зображено на рисунку.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Абсциси  х1 = 0, х2 = 4 нулі квадратичної функції, тому

у = а(хх1)(хх2) =

= а(х – 0)(х – 4) = ах2 – 4ах.

Парабола проходить через точку  (1; 3). Отже,

3 = а – 4а = –3а, а = –1.

у = –х2 + 4х.

Абсциса вершини параболи
Ордината
ВІДПОВІДЬ:  4

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

у = х2 – 4|х| + 3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За означенням модуля отримаємо:

 1)  якщо  х ≥ 0, то  у = х2 – 4х + 3  і графіком функції є частина параболи, вітки якої напрямлені вгору  (а = 1 ˃ 0).
Координати вершини
Парабола перетинає вісь  х  у точках з абсцисами  1  і  3, а вісь ординат – у точці  (0; 3).

2)  якщо  х < 0, то  у = х2 + 4х + 3  і графіком функції є частина параболи, вітки якої напрямлені вгору  (а = 1 ˃ 0).

Координати вершини

Парабола перетинає вісь  х  у точках з абсцисами  1  і  3, а вісь ординат – у точці  (0; 3).

Завдання до уроку 27
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий