Урок 27. Графік функції у = aх2 + bx + c

З'ясуємо, що є графіком квадратичної функції. Ми встановили, що графік функції, заданої рівнянням

у = a(х – m)² + n,

є образом графіку функції

у = ах²

при паралельному перенесенні, що відображає початок координат на точку 

О^'(m; n).

Всяку квадратичну функцію можна задати рівнянням виду:

у = a(х – m)² + n.

Отже

Графік функції

у = aх² + bx + c

є парабола, конгруентна параболі

у = aх².

Віссю симетрії є пряма

Якщо  а < 0, то вітки параболи напрямлені вниз и значення

є найбільшим значенням функції,

Якщо  а < 0, то вітки параболи напрямлені вгору і значення

є найменшим значенням функції.

Якщо  D < 0, то парабола не перетинає осі абсцис, якщо  D = 0, то парабола дотикається до осі  х  у вершині, якщо D ˃ 0 , то парабола перетинає вісь  х  у точках:

Парабола перетинає вісь  у  в точці з координатами  (0; с).

Якщо квадратний тричлен  aх² + bx + c  має два корені  х₁  і  х₂, парабола перетинає вісь абсцис у двох точках з координатами  (х₁; 0), (х₂; 0).

Якщо квадратний тричлен  aх² + bx + c  єдиний корінь  х₁, парабола має з віссю абсцис єдину загальну точку з координатами  (х₁; 0).

Якщо квадратний тричлен  aх² + bx + c  не має коріння, то парабола не має з віссю абсцис загальних точок.

Нулі функції  у = aх² + bx + c.

Значення аргументу, при яких значення функції  у = aх² + bx + c  дорівнюють нулю, є корінням квадратного тричлену  aх² + bx + c. Можна визначити нулі функції та на графіку цієї функції.

ПРИКЛАД:

Знайдіть нулі функції:

у = 3х² – 7x + 4.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Аналітичний метод.

Знайдемо коріння рівняння

3х² – 7x + 4 = 0.

Графічний метод.

Побудуємо графік функції

у = 3х² – 7x + 4.

З графіка видно, що функція перетворюється на нуль при

х = 1  і  х = 1¹/₃.

ПРИКЛАД:

Знайдіть нулі функції:

у = 6х² – x.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Аналітичний метод.

Знайдемо коріння рівняння

6х² – x = 0.

Графічний метод.

Побудуємо графік функції

у = 6х² – x.

З графіка видно, що функція перетворюється на нуль при

х = 0  и  х =  ¹/₆.

ПРИКЛАД:

Нехай вимагається побудувати графік функції, заданої рівнянням:

у = ¹/₂ х² – 8х + 35.

Представимо це рівняння в іншому виді, виділивши з тричлена квадрат двочлена. Отримаємо рівняння

у = ¹/₂ (х – 8)² + 3.

З'ясуємо, що є графіком цього рівняння.

Вичислимо координати декількох точок, що належать цьому графіку.

легко бачити, що найменше значення, рівне  3  функція приймає при  х = 8. Якщо значення  х  відрізняється від  8  на одно і теж число, то що відповідає їм значення  у  рівні. Наприклад, якщо  х = 6, то  у = 5, і якщо  х = 10, то  у = 5.

Побудувавши точки, координати яких вказані в таблиці, і з'єднавши їх плавною лінією, отримаємо графік функції

у = ¹/₂ (х – 8)² + 3.

Отже, графік функції

у = ¹/₂ (х – 8)² + 3

є парабола, що є образом параболи

у = ¹/₂ х²

при паралельному перенесенні, яке початок координат відображає на точку з координатами

(8; 3).

ПРИКЛАД;

Побудувати графік функції

у = 2х² + 4х – 1.

Графіком цієї функції є парабола. Знайдемо координати її вершини. Для цього можна, виділивши з тричлена квадрат двочлена, представити рівняння

у = 2х² + 4х – 1.

у виді

у = 2(х + 1)² – 3.

Звідси ясно, що вершина параболи - точка з координатами

(–1; –3).

Побудувавши в координатній площині вершину параболи - точку з координатами

(–1; –3)

і знаючи, що віссю симетрії параболи служить пряма

х = –1

і що <<гілки>> параболи спрямовані вгору, ми можемо уявити собі загальний вигляд графіку функції

у = 2х² + 4х – 1.

і що <<гілки>> параболи спрямовані вгору, ми можемо уявити собі загальний вигляд графіку функції

Побудувавши в координатній площині точки, координати яких занесені в таблицю, і з'єднавши їх плавною лінією, ми отримаємо графік функції

у = 2х² + 4х – 1.

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції

у = –х² – 6х – 5.

Користуючись графіком, знайдіть:

– множину значень функції;

– проміжок, на якому функція спадає.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графіком функції  у = –х² – 6х – 5  є парабола, вітки якої напрямлені вниз. Знайдемо координати вершини параболи:

Точка  (–3; 4)  є вершиною даної параболи. Знайдемо абсциси точок перетину графіка функції з віссю  Ох:

–х² – 6х – 5 = 0,

х₁ = –5,  х₂ = –1.

Графік цієї функції перетинає вісь ординат в точці  (0; –5).

Побудуємо графік заданої функції.

З малюнка видно, що:

 1)  множиною значень функції є проміжок  (–∞; 4].

 2)  функція спадає на проміжку  [–3; +∞).

ВІДПОВІДЬ:

множиною значень функції є проміжок  (–∞; 4],

функція спадає на проміжку  [–3; +∞)

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції

у = –х² + 4х + 5.

Користуючись графіком, знайдіть:

– область значень функції;

– проміжок спадання функція.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дана функція є квадратичною функцією, графік – парабола, вітки якої напрямлені вниз.

Абсциса вершини параболи:

Ордината вершини:

Знайдемо точки перетину параболи є віссю абсцис:

–х² + 4х + 5 = 0,

х² – 4х – 5 = 0

х₁ = –1,  х₂ = 5.

Таким чином, парабола перетинає вісь абсцис у точках  (0; –1)  і  (0; 5). Знайдемо точку перетину парабол з віссю ординат:

у(0) = 5. Парабола перетинає вісь ординат у точці  (0; 5).

Використовуючи знайдені чотири точки параболи, виконаємо ії побудову.

Графік даної функції зображено на рисунку.

ВІДПОВІДЬ:

область значень функції є проміжок  (–∞; 9],

функція спадає на проміжку  [2; +∞)

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Областю визначення даної функції є всі дійсні числа, крім числа  0. Тоді на області визначення:

Графіком цієї функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору

(а  = 1 ˃ 0).

Координати вершини:

Парабола перетинає вісь  х  у точках с абсцисами  –3  і  1.

Графік заданої функції є парабола

у = x² + 2x – 3  без точки  (0; –3).

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Областю визначення даної функції є всі дійсні числа, крім числа  0. Тоді на області визначення:

Графіком цієї функції є парабола, вітки якої напрямлені вгору

(а  = 1 ˃ 0).

Координати вершини:

Парабола перетинає вісь  х  у точках с абсцисами  –3  і  1.

Графік заданої функції є парабола

у = x² + 2x – 3  без точки  (0; –3).

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік і укажіть область значень функції

у = –х² – 2х + 3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графіком функції  у = –х² – 2х + 3  є парабола напрямлена вітками вниз.

Тому значення у її вершині є найбільшим якого вона досягає. Координати вершини:

тому областю значень функції є проміжок  (–∞; 4].

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік і укажіть область значень функції

f(x) = х² + 8х – 3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Графіком функції  f(x) = х² + 8х – 3  є парабола напрямлена вітками вверх.

Знайдемо її вершину:

тому областю значень функції є проміжок  [–19; +∞).

ПРИКЛАД:

Знайдіть ординату вершини параболи, фрагмент якої зображено на рисунку.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Абсциси  х₁ = 0, х₂ = 4 – нулі квадратичної функції, тому

у = а(х – х₁)(х – х₂) =

= а(х – 0)(х – 4) = ах² – 4ах.

Парабола проходить через точку  (1; 3). Отже,

3 = а – 4а = –3а, а = –1.

у = –х² + 4х.

Абсциса вершини параболи

Ордината

ВІДПОВІДЬ:  4

ПРИКЛАД:

Побудуйте графік функції:

у = х² – 4|х| + 3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За означенням модуля отримаємо:

 1)  якщо  х ≥ 0, то  у = х² – 4х + 3  і графіком функції є частина параболи, вітки якої напрямлені вгору  (а = 1 ˃ 0).

Координати вершини

Парабола перетинає вісь  х  у точках з абсцисами  1  і  3, а вісь ординат – у точці  (0; 3).

2)  якщо  х < 0, то  у = х² + 4х + 3  і графіком функції є частина параболи, вітки якої напрямлені вгору  (а = 1 ˃ 0).

Координати вершини

Парабола перетинає вісь  х  у точках з абсцисами  –1  і  –3, а вісь ординат – у точці  (0; 3).

Завдання до уроку 27

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3
• Завдання 4

Інші уроки:

• Урок 1. Координатна площина
• Урок 2. Діаграми
• Урок 3. Графіки
• Урок 4. Множини
• Урок 5. Що таке функція ?
• Урок 6. Аналітичній спосіб задання функції
• Урок 7. Табличний спосіб задання функції
• Урок 8. Графічний спосіб задання функції
• Урок 9. Знаходження області визначення і області значення функції аналітичним способом
• Урок 10. Знаходження області визначення і області змині за допомогою графіка
• Урок 11. Нулі функції
• Урок 12. Зростання і спадання функції
• Урок 13. Екстремальні значення функцій
• Урок 14. Симетричні функції
• Урок 15. Парні і непарні функції
• Урок 16. Функція, зворотна даною
• Урок 17. Лінійна функція
• Урок 18. Графік лінійної функції
• Урок 19. Пряма пропорційність
• Урок 20. Графік прямої пропорціональності
• Урок 21. Взаємне розташування графіків лінійних функцій
• Урок 22. Функція обернено пропорціональної залежності
• Урок 23. Графік функції обернено пропорціональної залежності
• Урок 24. Квадратична функція
• Урок 25. Графік функції  у = aх² + b
• Урок 26. Графік функції  у = a(х - m)² + n
• Урок 28. Функція  у = √͞͞͞͞͞х   і її графік
• Урок 29. Функція  у = хⁿ   і її графік
• Урок 30. Побудова графіків функцій методом геометричних перетворень