Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

воскресенье, 1 июля 2018 г.

Урок 5. Объём прямого параллелепипеда

ВИДЕОУРОК

Объём прямого параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.
где  Sосн – площадь основания прямого параллелепипеда, h – высота прямого параллелепипеда.
В отличии от прямоугольного параллелепипеда, все грани которого – прямоугольники, в прямом параллелепипеде в основании находится параллелограмм, а прямоугольниками являются только четыре боковые грани. Но при изображении прямоугольного параллелепипеда мы вынуждены изображать основание также в виде параллелограмма. Поэтому чертёж прямого параллелепипеда по существу ничем не отличается от чертежа прямоугольного параллелепипеда, и это создаёт дополнительные трудности при пользовании чертежом:
Необходимо помнить, что острый угол параллелограмма на чертеже является острым и в самом деле у изображённой фигуры. Для большей ясности рекомендуется на чертеже делать этот угол очень острым, и обязательно отмечать его (в данном случае  60°).

ЗАДАЧА:

 В прямом параллелепипеде стороны основания  а  и  b  образуют угол  30º. Боковая поверхность равна  S. Найдите объём параллелепипеда.

 РЕШЕНИЕ:

 Обозначим высоту данного параллелепипеда через  х.
Тогда

 (2a + 2b) x = S.

 Откуда
Площадь основания параллелепипеда равна
Объём равен
ОТВЕТ:

ЗАДАЧА:

В прямом параллелепипеде стороны основания равны  а  и  b  и острый угол – α. Большая диагональ основания равна меньшей диагонали параллелепипеда. Найти объём параллелепипеда.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
В прямом параллелепипеде диагонали (всего их четыре) попарно равны:

А1С = АС1, ВD1 = В1D

(диагонали А1С  и  В1D  на чертеже не проведены).

Пусть острый угол основания  АВСD  есть  ∠ DАВ = α, тогда

∠ АВС = 180° – α  тупой, и  АС ˃ ВD. Значит меньшая диагональ параллелепипеда есть  ВD1

(ибо  (ВD1)2 = Н2 + ВD2,

тогда как  А1С2 = Н2 + АС2,

следовательно, ((ВD1)2 <  А1С2).

Из условия  ВD1 = АС  можно найти  Н. Именно, из треугольника  ВDD1  имеем:

H2 = (ВD1)2 – BD2 = AC2 – BD2.

Из треугольника  АВD  находим:

BD2 = a2 + b2 – 2ab cos α,

а из треугольника  АВС  находим:

AC2 = a2 + b2 – 2ab cos (180° – α).

Следовательно,  H2 = 4ab cos α.
Площадь основания равна:

S = ab sin α,

тогда объём равен:
ЗАДАЧА:

Диагонали прямого параллелепипеда равны  9 см  и  √͞͞͞͞͞33 см. Периметр его основания равен  18 см. Боковое ребро равно  4 см. Найти объём параллелепипеда.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж:
Обозначим большую сторону основания  АВ  через  а, меньшую (ВС) – через  b. По условию

а + b = 9 (см).

Чтобы найти  а, b, а также острый угол  α, вычислим диагонали основания. Так как меньшая диагональ  ВD1 = √͞͞͞͞͞33 см  параллелепипеда проектируется на плоскость основания диагональю  ВD, то:

BD2 = (BD1)2 – (DD1)2 =

= (√͞͞͞͞͞33)2 – 42 = 17 (см).

Точно так же найдём  АС2 = 65 (см2). Получаем два уравнения:

a2 + b2 – 2ab cos α = 17,

a2 + b2 + 2ab cos α = 65.

Складывая их, находим

a2 + b2 = 41,

что вместе с

а + b = 9

даёт  а = 5, b = 4 (мы обозначили через  а  большую сторону). Вычитая, находим

4ab cos α = 48,

то есть,
Следовательно,

Sосн = ab sin α =

= 4 ∙ 5 ∙ 0,8 = 16 (см2).

V = 16 ∙ 4 = 64 см3.

ОТВЕТ:  64 см3

Задания к уроку 5
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий