Урок 11. Объём усечённой пирамиды

Объём усечённой пирамиды равен суме объёмов трёх пирамид, которые имеют высоту, одинаковую с высотой усечённой пирамиды, а основания: одно – нижнее основание данной пирамиды, второе – верхнее, а третья – основание, площадь которого равна среднему геометрическому площадей верхнего и нижнего основания.

Пусть площади оснований усечённой пирамиды равны  F  и  f, а высота равна  h, тогда объём:

Правильная четырёхугольная усечённая пирамида.

Правильная треугольная усечённая пирамида.

ЗАДАЧА:

Найдите объём правильной треугольной усечённой пирамиды, у которой стороны оснований  30  и  20 м, а боковая поверхность равна сумме площадей оснований.

РЕШЕНИЕ:

В правильной треугольной усечённой пирамиде

Обозначим стороны оснований 

АВ = а = 30 м,

А₁В₁ = а₁ = 20 м  

и апофему пирамиды  NM = m, тогда по условию имеем

или

Рассматривая равносторонние  ∆ АВС  и  ∆ А₁В₁С₁, центры которых находятся в точках  О  и  О₁, найдём  ОN  и  О₁М  как радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники:

Из прямоугольной трапеции  O₁MNO (MK ⊥ ON)  найдём

KN = ON – OK = 
ON – O₁M, или

Рассматривая прямоугольный  ∆ MK,N найдём высоту данной пирамиды

Тогда объём данной пирамиды

ОТВЕТ:

V = 1900 м³.

ЗАДАЧА:

Найти объём правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, у которой стороны оснований равны  4 см  и  2 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом  45°.

РЕШЕНИЕ:

На рисунке изображена правильная усечённая пирамида, в которой по условию, 

A₁D₁ = 2 см, 
AD = 4 см.

Площади оснований равны 

S = 4² = 16 (см²), 
S₁ =2² = 4 (см²)

OK  и  O₁K₁ – радиусы окружностей вписанных в основания,

O₁K₁ = ²/₂ = 1 (см), 
OK = ⁴/₂ = 2 (см).

Проведём  K₁L  параллельно высоте  O₁O,

K₁L = O₁O = h.

KL = KO – K₁O₁ = 2 – 1 = 1 (см).

∠ K₁KL – угол наклона боковой грани к плоскости основания,

∠ K₁KL = 45° (по условию).

Тогда  ∆K₁KL – равнобедренный,

KL = K₁L  и  K₁L = 1 (см).

Поэтому:

Задания к уроку 11

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Единицы измерения объёмов
• Урок 2. Объём прямой призмы
• Урок 3. Объём наклонной призмы
• Урок 4. Объём правильной призмы
• Урок 5. Объём прямого параллелепипеда
• Урок 6. Объём наклонного параллелепипеда
• Урок 7. Объём прямоугольногопараллелепипеда 
• Урок 8. Объём куба
• Урок 9. Объём пирамиды
• Урок 10. Объём правильной пирамиды
• Урок 12. Объём цилиндра
• Урок 13. Объём конуса
• Урок 14. Объём усечённого конуса
• Урок 15. Объём шара и его частей
• Урок 16. Тела вращения
• Урок 17. Комбинации тел (2)
• Урок 18. Правильные многогранники
• Урок 19. Объёмы подобных тел