Уроки математики и физики (RU + UA)

среда, 8 августа 2018 г.

Урок 11. Объём усечённой пирамиды

Объём усечённой пирамиды равен суме объёмов трёх пирамид, которые имеют высоту, одинаковую с высотой усечённой пирамиды, а основания: одно – нижнее основание данной пирамиды, второе – верхнее, а третья – основание, площадь которого равна среднему геометрическому площадей верхнего и нижнего основания.

Пусть площади оснований усечённой пирамиды равны  F  и  f, а высота равна  h, тогда объём:
Правильная четырёхугольная усечённая пирамида.
Правильная треугольная усечённая пирамида.
ЗАДАЧА:

Найдите объём правильной треугольной усечённой пирамиды, у которой стороны оснований  30  и  20 м, а боковая поверхность равна сумме площадей оснований.

РЕШЕНИЕ:

В правильной треугольной усечённой пирамиде
Обозначим стороны оснований 

АВ = а = 30 м,
А1В1 = а1 = 20 м  

и апофему пирамиды  NM = m, тогда по условию имеем
или
Рассматривая равносторонние  АВС  и  А1В1С1, центры которых находятся в точках  О  и  О1, найдём  ОN  и  О1М  как радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники:
Из прямоугольной трапеции  O1MNO (MK ON)  найдём

KN = ON – OK = 
ON – O1M, или
Рассматривая прямоугольный  MK,N найдём высоту данной пирамиды
Тогда объём данной пирамиды
ОТВЕТ:

V = 1900 м3.

ЗАДАЧА:

Найти объём правильной четырёхугольной усечённой пирамиды, у которой стороны оснований равны  4 см  и  2 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом  45°.

РЕШЕНИЕ:

На рисунке изображена правильная усечённая пирамида, в которой по условию, 

A1D1 = 2 см, 
AD = 4 см.
Площади оснований равны 

S = 42 = 16 (см2), 
S1 =22 = 4 (см2)
OK  и  O1K1радиусы окружностей вписанных в основания,
O1K1 = 2/2 = 1 (см)
OK = 4/2 = 2 (см).

Проведём  K1параллельно высоте  O1O,

K1L = O1O = h.
KL = KOK1O1 = 2 – 1 = 1 (см).
K1KL – угол наклона боковой грани к плоскости основания,
K1KL = 45° (по условию).

Тогда  ∆K1KL – равнобедренный,

KL = K1и  K1L = 1 (см).

Поэтому:
Задания к уроку 11
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий