Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

пятница, 7 июля 2017 г.

Уррк 21. Взаємне розташування графіків лінійних функцій

Графіки двох лінійних функцій є прямими, які або перетинаються, або паралельні.

Графіки двох лінійних функцій, заданих формулами виду

y = kx + b, 

перетинаються, якщо коефіцієнти при  х  різні, і паралельні, якщо коефіцієнти при  х  однакові.

Доведемо це.

Нехай  y = k1x + b1  и  y = k2x + b2 – дві різні лінійні функції. Щоб з'ясувати, яке взаємне розташування їх графіків, розглянемо рівняння

k1x + b1 = k2x + b2

Маємо

k1x – k2x = b2 – b1,

(k1 – k2) x = b2 – b1.

Якщо  k1 ≠ k2, це рівняння має єдиний корінь. І тут графіки функцій перетинаються.
Якщо  k1 = k2  и  b1 ≠ b2, то рівняння не має коріння. У цьому випадку графіки функцій паралельні.
ПРИКЛАД:

Дані графіки функцій, заданих формулами:

у = 0,9х – 1,
у = 0,8х + 1

з різними коефіцієнтами при  х.
З'ясуємо, чи перетинаються ці графіки. Перетин графіків означає, що вони мають загальну точку. В цьому випадку знайдеться таке значення  х, якому відповідає одно і те ж значення  у  для обох функцій. Щоб знайти це значення  х, потрібно вирішити рівняння

0,9х – 1 = 0,8х + 1.

Маємо:

0,9х – 0,8х = 1 + 1,
0,1х = 2,
х = 20.

При  х = 20  обидві функції

у = 0,9х – 1,
у = 0,8х + 1

набувають одно і те ж значення, рівного  17. Точка

(20; 17) 

належить як одному, так і іншому графіку. Така точка тільки одна. Значить, прямі, що є графіками функцій

у = 0,9х – 1,
у = 0,8х + 1

перетинаються.

ПРИКЛАД:

Дані графіки функцій, заданих формулами:

у = 0,5х + 1,
у = 0,5х – 2

з однаковими коефіцієнтами при  х.
Щоб з'ясувати, чи перетинаються графіки цих функцій, потрібно вирішити рівняння

0,5х + 4 = 0,5х – 2.

Оскільки це рівняння не має коренів, то прямі, які є графіками функцій

у = 0,5х + 1,
у = 0,5х – 2

Не мають загальних точок, т. е. вони паралельні.

ПРИКЛАД:

На малюнку зображені прямі, які є графіками лінійних функцій, заданих формулами виду

y = kx + b, 

з однаковими коефіцієнтами при  х  і різними значеннями  b.
Усі ці прямі паралельні і нахилені до осі  х  під одним і тим же кутом. Цей кут залежить від коефіцієнта  k.

Число  k  називають кутовим коефіцієнтом прямої – графіка функції

y = kx + b, 

використовуючи термін кутовий  коефіцієнт прямої, доведену вище властивість можна сформулювати так:

Якщо кутові коефіцієнти прямих, що є графіками двох лінійних функцій, різні, то ці прямі перетинаються, а якщо кутові коефіцієнти однакові, то прямі паралельні.

З формули

y = kx + b, 

витікає, що при  х = 0  значення  у  рівне  b. Значить, графік функції  

y = kx + b  

перетинає вісь  у  в точці з координатами  (0; b).

ПРИКЛАД:

На малюнку зображені прямі, які є графіками функцій, заданих формулами виду  y = kx + b  з різними  а  і одним і тим же значенням  b. Усі ці прямі перетинаються в одній точці, що лежить на осі  у.

ПРИКЛАД:

При яких значеннях  k  та  b  графік лінійної функції  y = kx + b  перетинається з графіком функції

у = 12х + 18 ?

k =12, b = 20,

k =12, b = 18,

k =14, b = 18,

k =18, b = 12.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо кутові коефіцієнти прямих, є графіками двох лінійних функцій, різні, ці прямі перетинаються. Отже при

k =14, b = 18  і  k =18, b = 12

прямі перетинаються.

ПРИКЛАД:

Виберіть функції, графіки яких паралельні графіку функції:

у = 0,7х + 0,3.

у = 1,7х + 0,3,

у = 0,7х,

у = 0,3х + 0,7,

у = 0,7х + 2,3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Якщо кутові коефіцієнти однакові, то прямі паралельні, отже, паралельні графіку функції  у = 0,7х + 0,3  будуть наступні функції  у = 0,7х, у = 0,7х + 2,3.

ПРИКЛАД:

Графік деякої лінійної функції виду  y = kx + 1  паралельний графіку функції  y = –0,4x. Знайдіть значення коефіцієнта k і з'ясуйте, чи належить цьому графіку точка  М(50; – 19).

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки прямі паралельні, отже, кутові коефіцієнти вони рівні, k = –0,4. Тоді функція  y = kx + 1  виглядатиме так:

y = –0,4x + 1.

Підставимо координати точки  М  у це рівняння:

–19 = –0,4 ∙ 50 + 1,  –19 = –19.

ВІДПОВІДЬ:  точка  М  належить цьому графіку

ПРИКЛАД:

Задайте формулою лінійну функцію, графіком якої є пряма, яка проходить через точку  А(2; 3)  і паралельна графіку функції  y = 1,5x – 3.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки прямі паралельні, отже, кутові коефіцієнти вони рівні, k = 1,5. Тоді функція  y = kx + b  виглядатиме так:

y = 1,5x + b.

Знайдемо  b:

b = 1,5x – у.

Підставимо в це рівняння координати точки  А:

b = 1,5 ∙ 2 – 3 = 0.

Значить формула виглядатиме так:

у = 1,5х.

ПРИКЛАД:

Знайдіть точку перетину прямих:

у = 2х – 3  и  у = 2 – 1/2 х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Для лінійної функції  у = 2х – 3  маємо:
Пряма  l1, що служить графіком лінійної функції  у = 2х – 3  показана малюнку через точки  (0; –3)  і  (2; 1).
Для лінійної функції  у = 2 – 1/2 х  маємо:

Пряма  l2, що служить графіком лінійної функції  у = 2 – 1/2 х  показана малюнку через точки  (0; 2)  і  (2; 1).
ВІДПОВІДЬ:  точкою перетину прямих буде точка з координатами  (2; 1).

ПРИКЛАД:

Знайдіть точку перетину прямих:

у = 2х – 3  и  у = 2 – 3 х.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Перший метод: графічний.

Збудуємо графіки функцій в одній системі координат.

Для функції  у = 2х – 3  маємо:
Для функції  у = 2 – 3 х  маємо:
З графіка видно, що точка перетину має координати

А(1; –1).

Другий спосіб: аналітичний.

Кутові коефіцієнти прямих різні, отже прямі перетинаються лише у точці. Ця загальна точка має координату  (х0; у0). Прирівнявши праві частини та розв'язавши рівняння, ми знайдемо абсцис точки перетину.

2х0 – 3 = 2 – 3х0,

2х0 + 3х0 = 2 + 3,

5х0 = 5,  х0 = 1.

Щоб знайти ординату, підставимо отримане значення аргументу х0 одну з функцій:

у0 = 2х0 – 3 = 2 ∙ 1 – 3 = – 1.

ВІДПОВІДЬ:  А(1; –1)

Завдання до уроку 21
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий