Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

понедельник, 2 июля 2018 г.

Урок 6. Объём наклонного параллелепипеда

ВИДЕОУРОК

Объём наклонного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.
где  Sосн – площадь основания наклонного параллелепипеда, h – высота наклонного параллелепипеда.
ЗАДАЧА:

Основанием наклонного параллелепипеда является параллелограмм  АВСD, у которого  АВ = 3 дм, АD = 7 дм  и  ВD = 6 дм. Диагональное сечение  АА1С1С  перпендикулярно к плоскости основания и его площадь равна  1 м2. Найдите объём параллелепипеда.

РЕШЕНИЕ:

Пусть имеем наклонный параллелепипед  АВСDА1В1С1D1, в котором плоскость диагонального сечения  АСС1А1  перпендикулярна к плоскости основания.
Кроме того, по условию,

АВ = 3 дм, АD = 7 дм, ВD = 6 дм,
За свойством сторон и диагоналей паралелограма

AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2),

откуда:

AC2 = 2(9 + 49) – 36 = 80,
AC = 4√͞͞͞͞͞5 (дм).

Проведем высоту  A1N = H   параллелепипеда  (N∈AC)  и найдём её из параллелограмма  АСС1А1:
Sосн = 2S∆ABD.

Площадь треугольника  ABD  найдём по формуле Герона:

p = 1/2(3 + 7 + 6) = 8 (дм),
Поэтому

Sосн = 8√͞͞͞͞͞5 (дм3).
V = Sосн × H = 8√͞͞͞͞͞5  × 5√͞͞͞͞͞5 
= 200 (дм3) = 0,2 (м3). 

ОТВЕТ:  0,2 м3.

ЗАДАЧА:

Площадь боковой грани треугольной призмы равна  S, а расстояние от противоположного ребра до этой грани  а. Найдите объём призмы.

РЕШЕНИЕ:

Пусть имеем наклонную треугольную призму  АВСА1В1С1, площадь её боковой грани  ВСС1В1  равна  S, а  d(AA1; (BCC1)) = а. Объём этой призмы обозначим как  V. Достроим данную треугольную призму до параллелепипеда  АВСDА1В1С1D1.
Объём такого параллелепипеда вдвое больше за объём данной призмы, то есть равен  2V. Рассмотрим за основание призмы  АВСDА1В1С1D1  грань  ВСС1В1. Тогда її объём равен

2V = S × d(AA1; (BCC1)) = S × а.

ОТВЕТ:  1/2 S × а. 

ЗАДАЧА:

Основанием параллелепипеда является ромб со стороной  4  и острым углом  60°. Одно из рёбер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в  60°  и равно  5. Найдите объём параллелепипеда.

РЕШЕНИЕ:

Начертим чертёж.
Объём параллелепипеда находим по следующей формуле:

V = So ∙ H,

где  Н – высота параллелепипеда.

Площадь ромба с заданной стороной  a  и углом  α, находим по следующей формуле:

So = a2 ∙ sin α.

Подставляя известные величины, получаем:

So = a2 ∙ sin α = 16∙1/2∙√͞͞͞͞͞3 = 8√͞͞͞͞͞3.

Угол между ребром  АА1  и гранью основания  АВСD – есть угол между этим ребром и проекцией ребра на плоскость основания, которая равна  АН, где  Н – проекция точки  А1  на  АВСD, то есть

∠ А1АН = 60°.

В прямоугольном треугольнике  АА1Н:
Задания к уроку 6
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий