Подобность многогранников.
Два многогранника называются подобными, если они имеют соответственно
равные многогранные углы и соответственно подобные грани.
Соответственные элементы подобных многогранников называются сходственными. У подобных многогранников
двугранные углы равны и одинаково расположены; сходственные рёбра пропорциональны.
Если в пирамиде проведём секущую площадь параллельно
основанию, то она отсечёт от неё другую пирамиду, подобную данной.
Поверхности подобных многогранников относятся, как
квадраты сходственных линейных элементов многогранников.
Объёмы подобных многогранников относятся как кубы
сходственных линейных элементов этих многогранников.
Квадраты объёмов подобных многогранников относятся как
кубы площадей сходственных граней.
Подобные цилиндры и конусы.
Два цилиндра, конуса
или усечённых конуса называются подобными, если подобны их осевые сечения.
Боковые и полные поверхности подобных цилиндров, конусов и
усечённых конусов относятся, как квадраты их сходственных линейных элементов. (радиусов оснований, высот, образующих).
Объёмы подобных тел.
Пусть Т и Т' – два простых подобных тела. Это означает, что существует
преобразования подобия, при котором тело
Т переходить в тело Т'. Обозначим через k коэффициент
подобия.
Разобьём тело Т на треугольные пирамиды
Р1, Р2,
…, Рn …
Преобразования подобия, которое переводит тело Т в тело Т' переводит пирамиды
Р1, Р2,
…, Рn в пирамиды Р1', Р2', …, Рn'.
Эти пирамиды составляют тело Т' и поэтому объём тела Т' равен сумме объёмов пирамид
Р1', Р2', …, Рn'.
Так как пирамиды Р1' и Р1 подобны и коэффициент подобия равен k,
то и отношение их высот равно k, а отношение площадей их оснований равно k2. Поэтому, отношение объёмов пирамид равно k3. Так как тело Т состоит из пирамид Р1, а тело Т' состоит из пирамид Р1',
то отношение объёмов тел Т' и Т тоже равно
k3.
Число k – коэффициент подобия – равен отношению расстояний
между любыми двумя соответствующими парами точек при преобразовании подобия. Поэтому,
это число равно отношению любых двух соответствующих линейных размеров тел Т' и
Т.
Таким образом, мы приходим к следующему выводу:
Объёмы двух подобных
тел относятся как кубы их соответствующих линейных размеров.
Квадраты объёмов
подобных тел относятся, как кубы площадей соответствующих граней.
Объёмы подобных цилиндров, конусов и усечённых конусов относятся,
как кубы их соответствующих линейных элементов (радиусов оснований,
высот, образующих).
Объёмы шаров относятся, как кубы их радиусов или диаметров.
ЗАДАЧА:
Через середину высоты пирамиды проведена плоскость,
параллельная основанию. В каком отношении она делит объём пирамиды ?
РЕШЕНИЕ:
Начертим чертёж:Как мы знаем, проведённая плоскость отсекает подобную пирамиду. Коэффициент
подобия равен отношения высот, то есть 1/2. Поэтому объёмы пирамид относятся какПоэтому, плоскость делит нашу пирамиду на части, объёмы которых относятся
какОТВЕТ: 1 : 7
ЗАДАЧА:
Объём конуса равен
16. Через середину высоты параллельно основанию конуса
проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной.
Найдите объём меньшего конуса.
РЕШЕНИЕ:
Начертим чертёж.Меньший конус подобен большему с коэффициентом 0,5.
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому объём
меньшего конуса в восемь раз меньше объёма большего конуса.ОТВЕТ: 2
ЗАДАЧА:
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости
достигает 1/2 высоты. Объём жидкости равен 54
мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд ?
РЕШЕНИЕ:
Начертим чертёж:1 способ.
Объём жидкости равен объёму
занимаемой части конуса. Поэтому:H/2 – высота уровня жидкости, если высота конуса равна Н,
R/2 – радиус основания конуса, чей объём занимает
жидкость, так как треугольники АОD
и АВС
подобны и коэффициент подобия равен
2. Отсюда:Объём же
конуса естьЗначит долить
нужно432 – 54 = 378 (мл).
2 способ
Можно рассуждать и так:
Отсечённый конус, образовавшийся при пересечении
исходного конуса плоскостью параллельной основанию и пересекающей высоту конуса
посередине, подобен исходному с коэффициентом подобия
1 : 2.
Значит, объём исходного конуса есть 8
объёмов отсечённого конуса (объёмы подобных тел находятся в
отношении k3, где k –
коэффициент подобия). Стало быть, на усечённый конус
приходится 7 объёмов отсечённого (малого) конуса. То есть объём усечённого конуса (а значит объём жидкости, что нужно долить) есть
7 ∙ 54 = 378.
ОТВЕТ: 378 мл
ЗАДАЧА:
В усечённой треугольной пирамиде через сторону верхнего
основания проведена плоскость параллельно боковому ребру. В каком отношении разделится
объём усечённой пирамиды, если соответствующие стороны оснований пропорциональны
числам 1 : 3 ?
РЕШЕНИЕ:
Начертим чертёж.Пусть АВСА1В1С1 – усечённая пирамида,A1B1ML ∥ CC1, ОО1 = Н.
Если соответствующие стороны оснований пропорциональны
числам 1 : 3,
то площади оснований будут пропорциональны числам 1 : 9.
S1 –
площадь ∆
А1В1С1,
S2 – площадь ∆ АВС.V1 –
объём усечённой пирамиды.V1 = 1/3
H (S1 + S2 + √͞͞͞͞͞S1S2)
=
= 1/3
H (S1 + 9S1 + √͞͞͞͞͞S1∙9S1) = 1/3 H (13S1).
V2 –
объём наклонной призмы А1В1С1LMC:
V2 = S1
∙ H.
V3 –
объём фигуры, которая осталась:
V3
= V1
–
V2
= 1/3
H
(13S1) – S1
∙ H =
= 1/3 10S1 H.ОТВЕТ:
3/10
ЗАДАЧА:
Площади оснований усечённой пирамиды S1 и S2, а её объём равен
V. Определить объём полной пирамиды.
РЕШЕНИЕ:
Пусть S1 > S2. Обозначим
объём полной пирамиды через V1, а объём пирамиды, дополняющей данную усечённую пирамиду
до полной, через V2
Тогда:
или
Составляя производную пропорцию, получим:
С учётом V1 –
V2 = V, находим:
откуда:
ОТВЕТ:
ЗАДАЧА:
Площади оснований усечённой пирамиды
равны а2 и b2. Найти площадь сечения, которое параллельно площадям
оснований усечённой пирамиды и делящего её объём пополам.
РЕШЕНИЕ:
В усечённой пирамиде АС1 (для простоты
рисунка рассматривается треугольная пирамида) дано:
Необходимо найти площадь сечения А'В'С' (пл. АВС ∥ пл. А'В'С'), которое делит усечённую
пирамиду на равновеликие по объёму части.
Дополним усечённую пирамиду до полной. Пирамиды
SАВС, SА'В'С', SA1B1C1 –
подобные.
Обозначим площадь искомого сечения А'В'С' через х2, а объёмы пирамид
SАВС, SА'В'С' и SA1B1C1
соответственно
Va, Vx, Vb.
Тогда:
или
где t –
некоторое число, которое обозначает величину этих отношений. Тогда:
Va = a3t, Vx
= x3t, Vb = b3t.
По условию задачи:
Va – Vx =
Vx – Vb,
или
a3t – x3t = x3t – b3t,
откуда:
2x3 = a3 + b3.
поэтому,
ОТВЕТ:
Задания к уроку 19
Комментариев нет:
Отправить комментарий