Уроки математики и физики (RU + UA)

среда, 7 октября 2015 г.

Урок 18. Куб суммы и куб разности двух чисел

Куб суммы двух чисел.

Куб двучлена  a + b  представим в виде многочлена:

(a + b)3 = (a + b)(a + b)2
(a + b) (a2 + 2ab + b2) = 
a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Получили тождество:
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго числа.

ПРИМЕР:

(5 + 2x)3
53 + 3 × 53 × 2x + 3 × 5 × (2x)2 + (2x)3 
123 + 150x + 60x2 + 8x3.

ПРИМЕР:

(х + 4у)3 =

= х3 + 3 х2 4у + 3 х (4у)2 + (4у)3 =

= х3 + 12х2у + 48ху2 + 64у3.

Эта формула читается и справа налево:

Куб первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго числа равен кубу суммы двух чисел.
ПРИМЕР:

b3 + 3b2 + 3b + 1 = (b + 1)3.

Куб разности двух чисел

Куб двучлена  a b  представим в виде многочлена:

(ab)3 = (ab)(ab)2 =

= (ab) (a2 – 2ab + b2) =

= a3a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2b3 =

= a3 – 3a2b + 3ab2b3.

Получили тождество:

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго числа.

ПРИМЕР:

(5 2x)3 =

= 53 3 52 2x + 3 5 (2x)2 (2x)3 =

= 125 150x + 60x2 8x3.

ПРИМЕР:

(2b 5)3 =

= (2b)3 3 (2b)2 5 + 3 2b 52 53 =

= 8b3 60b2 + 150b 125.

Эта формула читается и справа налево:

Куб первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго числа равен кубу разности двух чисел
ПРИМЕР:

n
3 – 6n2p + 12np2 – 8p3 = (n – 2p)3.

Применение формул сокращённого умножения.

При помощи формул сокращённого умножения можно сравнительно быстро выполнить тождественные преобразования многих алгебраических выражений.

ПРИМЕР:

Упростить:

(х – 1)(х + 1)(х4 + х2 + 1) – (х2 + 1)3.
(х – 1)(х + 1) = х2 – 1;
(х2 – 1)(х4 + х2 + 1) = х6 – 1;
(х2 + 1)3 = х6 + 3х4 + 3х2 + 1;
х6 – 1 – (х6 + 3х4 + 3х2 + 1) 
= –3х4 – 3х2 – 2.

Однако удобней преобразования выполнять цепочкой.

(х – 1)(х + 1)(х4 + х2 + 1) – (х2 + 1)3 
=  (х2 – 1)(х4 + х2 + 1) – (х2 + 1)3 
= (х6 – 1) – (х2 + 1)3
х6 – 1 – (х6 + 3х4 + 3х2 + 1) 
= –3х4 – 3х2 – 2.

Задания к уроку 18
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий