Урок 2. Тождественные выражения

четверг, 13 ноября 2014 г.

Урок 2. Тождественные выражения

Понятие тождественного преобразования выражения.

Рассмотрим два выражения.

f(x) = x² – 2x и g(x) = 4x – 5.

При х = 2 имеем

f(2) = 2² – 2 ∙ 2 = 0,

g(2) = 4 ∙ 2 – 5 = 3.

Числа 0 и 3 называют соответственными значениями выражений x² – 2x и 4x – 5 при х = 2. Найдём соответственные значения тех же выражений при х = 1:

f(1) = 1² – 2 ∙ 1 = –1,

g(1) = 4 ∙ 1 – 5 = –1.

при х = 0:

f(0) = 0² – 2 ∙ 0 = 0,

g(0) = 4 ∙ 0 – 5 = –5.

Соответственные значения двух выражений могут быть равными друг другу (так, в рассмотренном примере выполняется равенство f(1) = g(1)), а могут и отличаться друг от друга (так, в рассмотренном примере f(2) ≠ g(2), f(0) ≠ g(0)).

Если в результате решения двух различных выражений, содержащих переменные, получаются одинаковые числовые значения, то о таких выражениях говорят, что они тождественно равны или тождественны.

Два выражения называются тождественными, если они имеют одинаковые числовые значения при всех допустимых значениях входящих в них букв.

ПРИМЕР:

Тождественно равными будут выражения:

5а + 8а и 13а,

так как при каждом значении переменной а, эти выражения имеют равные числовые значения. Это выходит из распределительного закона умножения. Тождественно равными будут также выражения:

7х – 2х и 5х,

с + 2с + 3с и 6с.

ПРИМЕР:

Выражение 3(а – 2) + 6 и 3а тождественны:

при а = 1 и 3(а – 2) + 6 = 3 и 3а = 3;

при а = 2 и 3(а – 2) + 6 = 6 и 3а = 6 и т. д.

Два тождественно равных выражения, соединённые знаком равенства, образуют тождество. Можно сказать и так:

Равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него букв, называется тождеством.

Равенства, в которых левая и правая части – тождественно равные выражения, называют тождествами.

Очевидно, что при любых значениях переменных тождество обращается в верное равенство. Верные числовые равенства также называют тождествами.

ПРИМЕР:

5а + 8а = 13а,

2(х – 3) = 2х – 6,

3(а – 2) + 6 = 3а,

х + 2х + 5х = 8х,

х⁵= х² ∙ х³,

a + b + c = c + b + a,

(2ab)² = 4a²b².

ПРИМЕР:

Пропорция
есть тождество при всех значениях а, кроме а = 1, поскольку при а = 1 знаменатели дробей обращаются в нуль, то есть дроби не будут иметь смысла.

ПРИМЕР:

Замена выражения
(сократили на с) есть тождественное преобразование выражения
при ограничениях b ≠ 0, c ≠ 0.
Значит
– тождество при всех значениях переменных кроме b = 0, c = 0.

Тождествами являются также все равенства, выражающие законы

сложения и умножения:

а + 0 = а;
а⋅ 1 = а;
а + b = b + а;

а⋅ b = b⋅ а;
(а + b) + с = а + (b + с);

(а⋅ b)с = а(b⋅ с);
а(b + с) = а⋅ b + а⋅ с.

Эти тождества выражают свойства арифметических действий.

Замену выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения.

ПРИМЕР:

Сумму х + х + х заменим произведением 3х, разность 8а – 8b произведением 8(а – b).

Тождествами также принято считать правильные числовые равенства:

ПРИМЕР:

3² + 4² = 5²,

1 + 3 + 5 + 7 = 4².

Если в тождестве вместо переменной везде написать одно и тоже выражение, то получим новое тождество.

ПРИМЕР:

Если в тождестве

4(а – 2) + 8 = 4а,

переменную а заменить выражением z + 3, получим равенство:

4(z + 1) + 8 = 4(z + 3),

которое также будет тождеством.

Умение выполнять тождественные преобразования выражений позволяет часто более коротким путём производить вычисления. Тождественные преобразования выражений широко используются и при решений уравнений, неравенств, а также во многих других случаях.

Приведение подобных членов.

Алгебраические выражения называются подобными, если они равны или отличаются только коэффициентами.

Замена алгебраической суммы подобных членов одним членом, тождественным этой сумме, называется приведением подобных членов.

Чтобы привести подобные члены, надо сложить их коэффициенты и полученную сумму записать коэффициентом того же буквенного выражения.

ПРИМЕР:

Приведите подобные члены в выражении:

5а + а – 2а.

РЕШЕНИЕ:

В данной сумме все члены подобные, так как в них одинаковая буквенная часть. Сложим коэффициенты:

5 + 1 + (–2) = 4.

Поэтому,

5а + а – 2а = 4а.

ПРИМЕР:

3a²b – a²b + 7,4a²b =
(3 – 1 + 7) a²b = 9,4a²b;

14m²n – 27m³n² + 0,7m²n + 2m³n² – 0,5m³n² – 6m²n =

8,7m²n – 25,5m³n².

Раскрытие скобок.

Раскрыть в алгебраическом выражении скобки – значит заменить его тождественным ему выражением, не содержащем скобок. Правила раскрытия скобок следуют из свойств сложения и вычитания:

a + (b + c) = a + b + c;

a – (b – c) = a – b + c.

Формулируют это правило так:

– чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак плюс, надо записать без скобок все члены, стоящие в скобках, с их знаками;

– чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак минус, надо записать без скобок все члены, стоящие в скобках, с противоположными знаками.

ПРИМЕР:

9a² + [7a² – 2a – (a² – 3a)] =

9a² + (7a² – 2a – a² + 3a) =

9a² + 7a² – 2a – a² + 3a =

15a² + a.

Заключение в скобки.

При заключении в скобки пользуются такими правилами:

– чтобы заключить в скобки выражение со знаком плюс перед скобками, надо записать в скобках все члены выражения с их знаками;

– чтобы заключить в скобки выражение со знаком минус перед скобками, надо записать в скобках все члены выражения с противоположными знаками.

ПРИМЕР:

В выражении

2x³ + 5x²y – 4xy² – y³

заключить в скобки крайние члены со знаком плюс перед скобками, а средние члены – со знаком минус.

2x³ + 5x²y – 4xy² – y³ =
(2x³ – y³) – (4xy² – 5x²y).

ПРИМЕР:

В выражении

х² – y² – (у – х)

изменить перед скобками знак на противоположный.

х² – y² – (у – х) =
х² – y² + (x – y).

Задания к уроку 2

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

четверг, 13 ноября 2014 г.