Урок 10. Умножение многочлена на многочлен

вторник, 18 ноября 2014 г.

Урок 10. Умножение многочлена на многочлен

Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлена и полученные произведения сложить.

ПРИМЕР:

Умножим a + b – c на x + y. Обозначив многочлен x + y одной буквою m, имеем:

(a + b – c)(x + y) =
(a + b – c)m =
am + bm – cm =

a(x + y) + b(x + y) – c(x + y)
= ax + ay + bx + by – cx – cy.

ПРИМЕР:

(a + b – c)(x + y) =
ax + ay + bx + by – cx – cy.

Если бы мы умножили сначала а на х и у, потом b на х и у, и наконец – с на х и у, то есть каждый член первого многочлена на каждый член другого многочлена и полученные слагаемые сложили, то получили тот же самый результат.

ax + ay + bx + by – cx – cy.

ПРИМЕР:

(x² – 2x + 3)(a – 5) =

x²a + x²(–5) – 2xa – 2x(–5) + 3a + 3(–5) =

ax² – 5x² – 2ax + 10x + 3a – 15.

ПРИМЕР:

Перемножить многочлены:

(a + b)(a – b).

РЕШЕНИЕ:

(a + b)(a – b) = a(a – b) + b(a – b) =

= a² – ab + ab – b² = a² – b².

ПРИМЕР:

Перемножить многочлены:

(2x²y + 3xy²)(2x + 3y + 1).

РЕШЕНИЕ:

(2x²y + 3xy²)(2x + 3y + 1) =

= 2x²y(2x + 3y + 1) + 3xy²(2x + 3y + 1) =

= (4x³y + 6x²y² + 2x²y) + (6x²y² + 9xy³ + 3xy²) =

= 4x³y + 6x²y² + 2x²y + 6x²y² + 9xy³ + 3xy² =

= 4x³y + 12x²y² + 2x²y + 9xy³ + 3xy².

Если необходимо перемножить больше чем два многочлена, то сначала перемножают первые два из них, потом полученный результат умножают на третий многочлен и т. д.

ПРИМЕР:

Перемножим многочлены

x + a, x – y и x²– а².

(x + a)(x – y) =
x²+ ах – ах – а²
= x² – а²

(x² – а²)(x² – а²) =
x⁴ – а²x²– а²x² + а⁴
= x⁴ – 2а²x² + а⁴.

Умножение расположенных многочленов покажем на следующем примере:

При умножении многочленов их располагают по убывающим степеням одной из букв. Умножение выполняют в следующем порядке. Все члены множимого умножают на первый член множителя и результат записывают в строку под чертой. Затем все члены множимого умножают на второй член множителя и результат записывают во второй строке так, чтобы подобные члены оказались друг под другом. Так же записывают произведения всех членов множимого на третий член множителя и так далее до конца. Подобные члены приводят и окончательный результат записывают внизу под чертой.

Задания к уроку 10

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 18 ноября 2014 г.