Урок 19. Применение различных способов разложения многочлена на множители

среда, 7 октября 2015 г.

Урок 19. Применение различных способов разложения многочлена на множители

Разложение многочлена на множители.

Иногда можно преобразовать многочлен в произведение нескольких множителей – многочленов или одночленов. такое тождественное преобразование называют разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих множителей.

Разложение многочленов на множители – операция, противоположная умножению многочленов. На множители раскладываются натуральные числа. На множители раскладываются и многочлены.

Разложить многочлен на множители – это значит заменить его произведением нескольких многочленов, тождественных данному многочлену.

Общие правила разложения многочлена на множители.

– вынести общий множитель за скобки (если он есть).

– проверьте можно ли к выражению в скобках применить формулы сокращённого умножения.

– если многочлен содержит больше чем три члена, то необходимо его предварительно сгруппировать.

При разложении многочленов на множители часто используются несколько приёмов. В каждом отдельном случае надо предварительно изучить состав данного многочлена и затем определить, какие приёмы разложения на множители здесь следует использовать. В большинстве случаев приходится применять все приёмы разложения на множители в различной последовательности. Иногда при этом используют искусственные приёмы.

Применение формул сокращённого умножения.

При помощи формул сокращённого умножения можно сравнительно быстро выполнить тождественные преобразования многих алгебраических выражений.

ПРИМЕР:

mp – np + m² – 2mn + n² =
(mp – np) + (m² – 2mn + n²)
= p(m – n) + (m – n)² =

(m – n)(p + m – n).

ПРИМЕР:

1 – p² – 2pq – q² =
1 – (p² + 2pq + q²)
= 1 – (p + q)² =

(1 + p + q) (1 – p – q).

ПРИМЕР:

x³ + 5x² + 3x – 9 =

= x³ – 1 + 5x² – 5 + 3x – 3 =
= (x³ – 1) + (5x² – 5) + (3x – 3) =
= (x – 1)(x² + x + 1) + 5(x² – 1) + 3(x – 1) =
= (x – 1)(x² + x + 1) + 5(x – 1)(x + 1) + 3(x – 1) =
= (x – 1)[x² + x + 1 + 5(x + 1) + 3] =
= (x – 1)(x² + x + 1 + 5x + 5 + 3) =
= (x – 1)(x² + 6x + 9) = (x – 1)(x + 3)².

ПРИМЕР:

Упростить:

(х – 1)(х + 1)(х⁴ + х² + 1) – (х² + 1)³.

(х – 1)(х + 1) = х² – 1;

(х² – 1)(х⁴ + х² + 1) = х⁶ – 1;

(х² + 1)³ = х⁶ + 3х⁴ + 3х² + 1;

х⁶ – 1 – (х⁶ + 3х⁴ + 3х² + 1) =

= –3х⁴ – 3х² – 2.

Однако удобней преобразования выполнять цепочкой.

(х – 1)(х + 1)(х⁴ + х² + 1) – (х² + 1)³ =

= (х² – 1)(х⁴ + х² + 1) – (х² + 1)³ =

= (х⁶ – 1) – (х² + 1)³ =

= х⁶ – 1 – (х⁶ + 3х⁴ + 3х² + 1) =

= х⁶ – 1 – х⁶ – 3х⁴ – 3х² – 1 =

= –3х⁴ – 3х² – 2.

ПРИМЕР:

Упростить выражение:

(3 – а)² – а(а + 1).

РЕШЕНИЕ:

(3 – а)(3 – а) – а(а + 1) =

= 9 – 6а + а² – а² – а = –7а + 9.

ПРИМЕР:

Преобразуйте выражение

(1 + 5х)² – 12х – 1

в многочлен стандартного вида.

РЕШЕНИЕ:

(1 + 5х)² – 12х – 1 =

= 1 + 10х + 25х² – 12х – 1 =

= 25х² – 2х.

ПРИМЕР:

Упростите выражение

(2а – 3)² – 4(а² – а)

и найдите его значение при а = ¹⁷/₈.

РЕШЕНИЕ:

Если сразу подставить дробь в выражение – придётся возводить её в квадрат и вообще делать объёмные вычисления. Поэтому сначала упростим выражение, пользуясь формулой сокращённого умножения и раскроем скобки:

(2а – 3)² – 4(а² – а) =

= 4а² – 12а + 9 – 4а² + 4а =

Приведём подобные слагаемые:

= –8а + 9 = –8∙¹⁷/₈ + 9 = –17 + 9 = 8.

ПРИМЕР:

Упростить выражение:

(x + 2)(x – 2) – х(x + 3).

РЕШЕНИЕ:

(x + 2)(x – 2) – х(x + 3) =

= x² – 4 – x² – 3х = –3х – 4.

ПРИМЕР:

Найдите значение выражения:

а² – 6а + 2 при

а = 3 – √͞͞͞͞͞2 .

РЕШЕНИЕ:

а² – 6а + 2 =

= а² – 6а + 9 – 9 + 2 =

= (а – 3)² – 7.

Если а = 3 – √͞͞͞͞͞2, то:

(а – 3)² – 7 =

= (3 – √͞͞͞͞͞2 – 3)² – 7 =

= 2 – 7 = –5.

ПРИМЕР:

Разложить на множители:

4а⁴b³ + 16а³b⁴ + 16а²b⁵.

РЕШЕНИЕ:

Сначала вынесем за скобки общий множитель. Для этого найдём наибольший общий делитель коэффициентов 4, 16, 16 и наименьшие показатели степеней, с которыми переменные а или b входят в составляющие данный многочлен одночлены. Получим:

4а²b³(а² + 4аb + 4b²).

Дальше, пользуясь формулой, получаем:

а² + 4аb + 4b² = (а + 2b)².

Окончательный ответ:

4а⁴b³ + 16а³b⁴ + 16а²b⁵ =

= 4а²b³(а + 2b)².

ПРИМЕР:

Разложить на множители:

x⁶ – 1.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

x⁶ – 1 = (x³)² – 1².

Применив формулу разности квадратов, получим:

(x³ + 1)(x³ – 1).

Применив формулы суммы кубов и разности кубов, получим:

(x + 1)(x² – х +1)(x – 1)(x² + х +1).

Окончательный ответ:

x⁶ – 1 = (x + 1)(x² – х +1)(x – 1)(x² + х +1).

ПРИМЕР:

x⁴ + 4у⁴.

РЕШЕНИЕ:

Прибавим и отнимем одночлен

4x²у².

Получим:

x⁴+ 4у⁴ = (x⁴ + 4x²у²+ 4у⁴) – 4x²у² =

= (x²+ 2у²)² – (2xу)² =

= (x²+ 2у² – 2ху) (x²+ 2у² + 2ху).

Здесь применён метод выделения полного квадрата.

Задания к уроку 19

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 7 октября 2015 г.