Урок 1. Рациональные алгебраические выражения

четверг, 13 ноября 2014 г.

Урок 1. Рациональные алгебраические выражения

Основные понятия.

Формулы.

В математике много правил записывают с помощью букв. В таких случаях говорят, что правило записано формулой. С помощью формул мы уже записывали законы сложения и умножения.

Плата за проезд на такси вычисляется по правилу: 20 коп умножается на число пройденных километров и к полученному произведению прибавляется 20 коп.

Например, если пассажир проехал на такси 3 км, то проезд будет стоить:

20 ∙ 3 + 20 = 80 коп.

Правило, по которому вычисляют стоимость проезда за такси, можно записать с помощью букв. Обозначим пройденный путь буквой s, а стоимость проезда буквой N, тогда:

N = 20s + 20.

Мы записали правило нахождения стоимости проезда на такси в виде равенства. Такое равенство называют формулой. Пользуясь формулой

N = 20s + 20,

можно для любого значения s найти значение N и по любому значению N найти значение s.

ПРИМЕР:

Пассажир проехал на такси 8 км, значит, s = 8, тогда

N = 20 ∙ 8 + 20, N = 180.

ОТВЕТ: пассажир заплатил 1 руб 80 коп.

Рассмотрим такой пример. Пусть известно, что автомобиль был в дороге 3 час и двигался со скоростью 60 км/час. Тогда он проехал расстояние 60 ∙ 3, то есть 180 км. Вообще, пройденный путь равен произведению скорости на время движения (при условии, что за равные промежутки времени автомобиль проезжает одинаковые отрезки пути, то есть скорость постоянная). Как правило, длину пути обозначают буквой S, скорость – буквой v, время – буквой t. Таким образом, получим формулу пути:

Наименование единицы измерения в формуле не пишут, но в ответе забывать про наименование нельзя.

ПРИМЕР:

Мотоциклист двигался 4 час со скоростью 75 км/час. Какой путь он проехал за это время ?

РЕШЕНИЕ:

Тут t = 4 час, и v = 75 км/час.

Поэтому:

S = 75 ∙ 4 = 300.

ОТВЕТ: мотоциклист проехал 300 км.

ПРИМЕР:

Спортсмен пробежал за 25 сек расстояние 200 м. С какой скоростью он бежал ?

РЕШЕНИЕ:

Поскольку t = 25 сек и S = 200 м, то, пользуясь формулой пути, найдём скорость:

v = S : t = 200 : 25 = 8.

ОТВЕТ: спортсмен бежал со скоростью 8 м/сек.

Выведем ещё одну формулу.

Чтобы послать телеграмму, необходимо заплатить за услуги 20 коп, и за каждое слово в тексте по 5 коп. Поэтому, если обозначить количество слов в телеграмме буквой n, а её стоимость буквой М, то

M = 20 + 5n.

ПРИМЕР:

Коля заплатил за телеграмму 65 коп. Сколько слов в этой телеграмме ?

РЕШЕНИЕ:

Подставим в формулу:

M = 20 + 5n

вместо М число 65.

65 = 20 + 5n.

Найдём n.

5n = 65 – 20,

5n = 45, n = 9.

ОТВЕТ: в телеграмме 9 слов.

ПРИМЕР:

Петя купил m булочек по 4 руб и торт за 30 руб. Составьте формулу для вычисления стоимости покупки и найдите эту стоимость, если m = 4, m = 12.

РЕШЕНИЕ:

За m булочек Петя заплатив 4m руб. Обозначив стоимость покупки буквой k, получим формулу:

k = 4m + 30.

Если m = 4, то k = 4 ∙ 4 + 30 = 46.

Если m = 12, то k = 4 ∙ 12 + 30 = 78.

ОТВЕТ: k = 4m + 30, 46 руб, 78 руб.

В алгебре для обозначения чисел, кроме цифр, пользуются буквами, чаще всего латинского алфавита. Буквы употребляют:

– для обозначения неизвестных чисел;

ПРИМЕР:

Определить х, если

х + 0,9 = 2,7.

– для обозначения произвольных чисел.

ПРИМЕР:

Когда хотят сказать, что переместительный закон сложения имеет место для любых рациональных чисел, пишут: какие бы ни были рациональные числа а и b,

a + b = b + a.

Обычно неизвестные числа обозначают последними буквами латинского алфавита (x, y, z), а известные – первыми (a, b, c, d и т. д.). Целые числа чаще всего обозначают m, n, к, l и др. Однако этих соглашений не всегда придерживаются: могут быть неизвестными и числа, обозначенные буквами a, b, n, и известными считаться x, y, z и т. д.

Так как под буквами в алгебре подразумевают числа, то с ними оперируют, как с числами, обозначенными цифрами.

ПРИМЕР:

Если требуется сложить а и b, пишут a + b. Эту запись и называют суммой чисел а и b.

Перед множителями, выраженными буквами, знак умножения не ставят, а только подразумевают.

ПРИМЕР:

Вместо a × b × c; 4 × х

пишут аbc; 4х.

Однако перед множителями, обозначенными цифрами, знак умножения пишут обязательно.

ПРИМЕР:

Вместо 9 × 3; 3 × ¹/₂

писать 93; 3¹/₃ нельзя.

Алгебраические выражения, составленные из цифр и букв с помощью действий сложения, вычитания, умножения, деления или возведения в степень с натуральным показателем, называются рациональными алгебраическими выражениями.

ПРИМЕР:

ПРИМЕР:

Алгебраическое выражение может состоять из одной буквы, может совсем не содержать чисел, обозначенных буквами. В последнем случае (см. два последних примера) их называют также арифметическими выражениями.

Виды алгебраических выражений.

Если алгебраическое выражение не содержит деления на переменные и извлечения корня из переменных (в частности, возведения в степень с дробным показателем), то его называют целым выражением.

ПРИМЕР:

Если алгебраическое выражение составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень с натуральным показателем и деления, причём используется деление на выражения с переменными, то его называют дробным выражением.

ПРИМЕР:
Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

ПРИМЕР:
Если в алгебраическом выражении используется извлечение корня из переменных (или возведение переменных в дробную степень), то его называют иррациональным выражением.

ПРИМЕР:
Итак, алгебраические выражения могут быть рациональными и иррациональными.

Рациональные алгебраические выражения делятся на целые числа и выражения и дробные числа и выражения.

Рациональное алгебраическое выражение называется целым, если оно не содержит деления на буквенное выражение.

ПРИМЕР:

Дробные выражения – частное двух целых выражений.

ПРИМЕР:

Числовое значение алгебраического выражения.

С помощью чисел, знаков действий и скобок можно составить различные числовые выражения. В результате решения числового выражения получается число, которое называется числовым значением выражения или, короче, значением выражения. Выражение может состоять и из одного числа. В этом случае значение выражения есть само число. Есть выражения в которых не все действия можно выполнить (деление на нуль невозможно!). О таких выражениях говорят, что они не имеют смысла. Таким образом числовое выражение может иметь или одно значение или не иметь ни одного значения. Значение выражения а(а + 1), содержащего переменную а, зависит от значения этой переменной. Каждому значению переменной а соответствует определённое значение выражения а(а + 1), то есть в выражениях с переменными при различных значениях этих переменных могут быть и различные значения выражений.

Числовым значением алгебраического выражения при данном значении входящих в него букв называется число, полученное в результате подстановки вместо букв соответствующих чисел и выполнения указанных действий.

Если в алгебраическом выражении переменным придать допустимые значения, то получится числовое выражение. Его значение называют значением алгебраического выражения при выбранных значениях переменных.

ПРИМЕР:

Определить числовое значение выражения

3а + 5 при а = 5,7.

РЕШЕНИЕ:

Если а = 5,7, то

3а + 5 = 3 × 5,7 + 5 = 22,1.

ОТВЕТ:

При а = 5,7 числовое значение данного выражения равно 22,1.

ПРИМЕР:

Найдите значение выражения

х + 0,5у, если

х = 4, у = –3,4.

РЕШЕНИЕ:

х + 0,5у = 4 + 0,5 ∙ (–3,4) =

= 4 – 1,7 = 2,3.

ОТВЕТ: при х = 4, у = –3,4 числовое значение данного выражения равно 2,3

ПРИМЕР:

Найти значение выражения:

при а = 5, b = 2.

РЕШЕНИЕ:
Порядок действий.

В алгебре сохраняются правила о порядке выполнения действий, которые приняты в арифметике, за исключением одного, а именно: в алгебре под выражением a : bc всегда понимают

(а делённое на произведение bc).

В выражениях без скобок, содержащих действия разных ступеней, сначала надо выполнить возведение в степень, затем умножение, деление и, наконец, сложение и вычитание. Если в выражении есть скобки, то действия над числами, заключёнными в скобки, выполняются первыми.

ПРИМЕР:

Найти числовое значение выражения:

РЕШЕНИЕ:

ОТВЕТ: 4.

Допустимые значения переменных. Область определения алгебраического выражения.

Числовые значения, которые могут принимать буквы в данном алгебраическом выражении, не лишая его смысла, называются допустимыми значениями переменных.

Множество всех допустимых значений переменных называют областью определения алгебраического выражения (или областью допустимых значений – ОДЗ).

Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных.

ПРИМЕР:
Иррациональное выражение не имеет смысла при тех значениях переменных, которые обращают в отрицательное число выражение, содержащееся под знаком корня чётной степени или под знаком возведения в дробную степень.

ПРИМЕР:
Имеет смысл только при тех a, b при которых a + b ≥ 0.

ПРИМЕР:
Имеет смысл только при a ≥ 0, b ≥ 0.

Дробные выражения не имеют смысла при тех значениях переменных, которые обращают знаменатель в нуль.

ПРИМЕР:
Имеет смысл при всех а, кроме а = 1.

ПРИМЕР:
Имеет смысл при всех а, b, с, кроме значений

а = 0, b = 0.

ПРИМЕР:

Определить числовое значение выражения:

при a = 1 и n = –2,5.

РЕШЕНИЕ:

Однако на 0 делить нельзя, следовательно, приданных значениях букв данное алгебраическое выражение не имеет числового значения. Говорят также, что при a = 1 и n = –2,5 это выражение лишено смысла или что эти значения недопустимы для данного выражения.

Задания к уроку 1

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

четверг, 13 ноября 2014 г.