Урок 12. Способ группировки

суббота, 13 декабря 2014 г.

Урок 12. Способ группировки

Способ группировки основан на том, что переместительный и сочетательный законы сложения позволяют группировать члены многочлена различными способами. Иногда удаётся такая группировка, что остаётся один и тот же многочлен, который в свою очередь как общий множитель может быть вынесен за скобки.

При заключении в скобки пользуются такими правилами:

– чтобы заключить в скобки многочлен со знаком плюс перед скобками, надо записать в скобках все члены многочлена с их знаками;

– чтобы заключить в скобки многочлен со знаком минус перед скобками, надо записать в скобках все члены многочлена с противоположными знаками.

ПРИМЕР:

В выражении

2х³ + 5х²у – 4ху² – у³

заключить в скобки крайние члены со знаком плюс перед скобками, а средние члены – со знаком минус.

2х³ + 5х²у – 4ху² – у³ =
(2х³ – у³) – (4ху² – 5х²у).

ПРИМЕР:

В выражении

х² – у² – (у – х)

изменить перед скобками знак на противоположный.

х² – у² – (у – х) =
х² – у² + (х – у).

ПРИМЕР:

Разложить на множители:

х³ – 3х² + 5х – 15.

РЕШЕНИЕ:

Произведём группировку следующим образом:

(х³ – 3х²) + (5х – 15).

В первой группе вынесем за скобки общий множитель х², во второй – общий множитель 5. Получим:

х²(х – 3) + 5(х – 3).

Теперь многочлен (х – 3) как общий множитель вынесем за скобки:

(х – 3)(х² + 5).

Таким образом, получаем

х³ – 3х² + 5х – 15 = (х – 3)(х² + 5).

ПРИМЕР:

Разложить на множители:

20х² + 3yz – 15хy – 4xz.

РЕШЕНИЕ:

20х² + 3yz – 15хy – 4xz =

= (20х² – 15хy) + (3yz – 4xz) =

= 5x(4х – 3y) – z(4x – 3y) =

= (4x – 3y)(5x – z).

ПРИМЕР:

Разложим на множители многочлен:

ab + ac + xb + xc.

Разобьём его члены на две группы:

(ab + ac) + (xb + xc).

Вынесем в первой группе за скобки общий множитель а, во второй – общий множитель х, получим выражение:

a(b + c) + x(b + c).

Слагаемые этого выражения имеют общий множитель b + c, вынесем его за скобки, получим

(b + c)(a + x).

Указанное преобразование можно записать цепочкой:

ab + ac + xb + xc =
(ab + ac) + (xb + xc) =

a(b + c) + x(b + c) =
(b + c)(a + x).

ПРИМЕР:

Разложить на множители:

3а – 3b + ах – bх.

Общего множителя все члены данного многочлена не имеют, но если сгруппируем члены по два в том порядке, как они написаны, то выражение примет вид:

(3а – 3b) + (ах – bх).

Если вынесем в первой группе общий множитель 3, а во второй общий множитель х, получим:

3(а – b) + х(а – b).

В этом выражении общим множителем является а – b. следовательно:

3а – 3b + ах – bх = (а – b)(3 + х).

Данный пример можно решить также другим способом:

3а – 3b + ах – bх =
(3а + ах) – (3b + bх) =
а(3 + х) – b(3 + х) =

(3 + х)(а – b).

В некоторых случаях, прежде чем группировать члены, нужно отдельные члены многочлена представить в виде суммы или разности.

ПРИМЕР:

Разложить на множители:

a² – 7ab + 12b².

РЕШЕНИЕ:

Здесь никакая группировка не приведёт к появлению во всех группах одного и того же многочлена. В таких случаях иногда оказывается полезным представить какой-либо член многочлена в виде некоторой суммы, после чего снова попробовать применить способ группировки. В этом примере целесообразно представить –7ab в виде суммы

–3ab – 4ab.

Получим:

a² – 7ab + 12b² =

= a² – 3ab – 4ab + 12b² =

= (a² – 3ab) – (4ab – 12b²) =

= а(a – 3b) – 4b(a – 3b) =

= (a – 3b)(a – 4b).

ПРИМЕР:

х² + 8х + 12 =
х² + 6х + 2х + 12 =
х(х + 6) + 2(х + 6) =

(х + 6)(х + 2).

ПРИМЕР:

х² – 2х – 8 =
х² – 4х + 2х – 8 =
х(х – 4) + 2(х – 4) =

(х – 4)(х + 2).

ПРИМЕР:

6х² – х – 1 =
6х² – 3х + 2х – 1 =
3х(2х – 1) + (2х – 1) =

(2х – 1)(3х + 1).

Задания к уроку 12

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 13 декабря 2014 г.