Урок 7. Многочлены

понедельник, 17 ноября 2014 г.

Урок 7. Многочлены

В математике часто приходится складывать или отнимать одночлены.

Алгебраическая сумма нескольких одночленов называется многочленом.

ПРИМЕР:

7х + 2а – сумма, а
7х – 2а – разница одночленов 7х и 2а.
Выражение
7х – 2а
можно считать также суммою одночленов 7х и –2а, или
7х + (–2а) = 7х – 2а. Выражение

2х⁴ – 3х³ + х² – 9х – 2 – сумма одночленов

2х⁴, –3х³, +х², –9х, –2.

Каждый одночлен в многочлене называется его членом. Если многочлен содержит два одночлена, он называется двучленом (или биномом), три – трёхчленом.

Одночлен тоже считается отдельным видом многочлена.

ПРИМЕР:

Многочлен

2ху – 5х + 6

содержит три члена:

2ху, 5х и 6.

Существуют целые выражения, которые не являются многочленами ? Существуют.

ПРИМЕР:

Выражения

(а + b)², 2a – (b + x)³

целые, а не многочлены.

Связи между вышеперечисленными выражениями иллюстрируют следующей схемой.

Расположенные многочлены.

Пусть дан многочлен, содержащий только одну букву в различных степенях. Пользуясь переместительным законом сложения, мы можем переставить его члены так, чтобы они были размещены или по возрастающим, или по убывающим степеням этой буквы.

ПРИМЕР:

Многочлен

–15х²+ 7х⁴ – 8х + 3 – 5х³

расположить:

а) по возрастающим степеням х;

б) по убывающим степеням х.

РЕШЕНИЕ:

а) 3 – 8х – 15х²– 5х³ + 7х⁴ (по возрастающим степеням х);
б) 7х⁴ – 5х³– 15х²– 8х + 3 (по убывающим степеням х).

Если многочлен содержит две или несколько букв, то выбирают одну из них, которую называют главной, и располагают многочлен по степени этой главной буквы. Первый член расположенного многочлена, содержащий главную букву в наивысшей степени, называют старшим, а последний – низшим членом этого многочлена.

Степень старшего члена называется степенью и самого многочлена.

Члены многочлена можно записывать в разной последовательности. Обычно их записывают друг за другом по мере уменьшения показателя степени той или иной переменной.

ПРИМЕР:

Упорядочим следующий многочлен

5ах²+ 6х³ – 4а²х + а⁴,

за уменьшением показателя степени переменной x. Получили

6х³ + 5ах² – 4а²х + а⁴.

Если упорядочим за уменьшением показателя степени переменной, а то получим:

а⁴ – 4ха² + 5х²а + 6х³.

Первый многочлен будет третьей степени, так как максимальная степень при переменной х равна 3, а второй многочлен будет четвёртой степени, так как максимальная степень при переменной а равна 4.

ПРИМЕР:

Упорядочить многочлен

5ах² + 6х³– 4а²х + а⁴.

По убывающим степенями переменной х, получим

6х³+ 5ах²– 4а²х + а⁴.

Наивысший показатель степени переменной х тут 3, поэтому такой многочлен называют многочленом третьей степени относительно х. Его можно расположить и по убывающей степени переменной а:

а⁴– 4а²х + 5ах² + 6х³.

Это – многочлен четвертой степени относительно переменной а.

ПРИМЕР:

Выражение

8х³ – 2ах² + а⁴х – 5а²

является многочленом, расположенным по убывающим степеням
буквы  х. Здесь
8х³ – старший член,
5а²– низший член,
3 – будет степенью старшего члена и степенью самого многочлена.

Числовой коэффициент.

Рассмотрим выражение 1,5а.
Оно содержит числовой множитель 1,5 и буквенный а.
Числовой множитель 1,5 выражения 1,5а называют числовым коэффициентом этого выражения или просто коэффициентом. Коэффициентом выражения –4аb будет число –4.
Коэффициент пишут перед буквенными множителями. Поскольку

а = 1× а,

то считают, что коэффициент выражения а равен 1. Поскольку

–а = (–1) × а,

то коэффициент выражения –а равен –1.

Коэффициент может быть целым числом и дробным.

В выражении 5ас – это 5.

В выражении ⁵/₆ ас – это ⁵/₆.

Если коэффициент – натуральное число, то он показывает, сколько раз стоящее за ним выражение берётся слагаемым.

ПРИМЕР:

5cd = cd + cd + cd + cd + cd.

Если же коэффициент – дробное положительное число, то он показывает, какую дробь надо взять от значения стоящего за ним выражения.

ПРИМЕР:

В выражении ⁵/₆ ас коэффициент означает, что при любых значениях а и с надо взять ⁵/₆ от их произведения.

С помощью коэффициентов можно короче записать многие выражения, содержащие одинаковые буквы, соединённые знаками

<<+>> и <<–>>.

ПРИМЕР:

В дальнейшем понятие коэффициента обобщается, даже буквенные множители можно рассматривать как коэффициенты.

ПРИМЕР:

В выражении 2abx коэффициентом при х есть 2ab.

Многочлен может иметь подобные члены, то есть такие одночлены, которые отличаются только коэффициентами или совсем не отличаются.

Приведение многочленов к стандартному виду.

Считают, что многочлен записан в стандартном виде, если все его члены – одночлены стандартного вида и среди них нет подобных.

Если все члены многочлена записать в стандартном виде и выполнить приведение подобных членов, то получится многочлен стандартного вида.

Всякое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида – в этом состоит цель преобразований (упрощений) целых выражений.

ПРИМЕР:

Два первых многочлена

х³– 3х² +3х + 7,

ab + bc – ca,

2ах – 3а × 5х + 8.

стандартного типа, а третий – нет.

ПРИМЕР:

2ах – 3а × 5х + 8 =

2ах – 15ах + 8 = –13ах + 8.

ПРИМЕР:

Привести многочлен

3а ∙ 5b + 3аb + 2а ∙ (–4b) + b ∙ b

к стандартному виду.

РЕШЕНИЕ:

Сначала приведём к стандартному виду члены многочлена. Получим:

15аb + 3аb – 8аb + b².

После приведения подобных членов получим многочлен стандартного вида:

10аb + b².

ПРИМЕР:

Привести многочлен

(3а + 5b – 2с) + (2а – b + 4с)

к стандартному виду.

РЕШЕНИЕ:

Если перед скобками стоит знак плюс, то скобки можно опустить, сохранив знаки всех слагаемых, заключённых в скобки. Воспользовавшись этим правилом раскрытия скобок, получим:

3а + 5b – 2с + 2а – b + 4с.

После приведения подобных членов получим многочлен стандартного вида:

(3а + 2а) + (5b – b) + (–2с + 4с) =

= 5а + 4b + 2с.

ПРИМЕР:

Привести многочлен

(5а²b + аb²) – (3а²b + 4аb²)

к стандартному виду.

РЕШЕНИЕ:

Если перед скобками стоит знак минус, то скобки можно опустить, изменив знаки всех слагаемых, заключённых в скобки. Воспользовавшись этим правилом раскрытия скобок, получим:

5а²b + аb² – 3а²b – 4аb².

После приведения подобных членов получим многочлен стандартного вида:

(5а²b – 3а²b) + (аb² + 4аb²) =

= 2а²b + 5аb².

Многочлены от одной переменной.

Многочлен аx + b, где а, b – числа (а ≠ 0), а х – переменная, называют многочленом первой степени.

Многочлен аx² + b + c, где a, b, c – числа (а ≠ 0), а х – переменная, называют многочленом второй степени или квадратным трёхчленом.

Многочлен аx³ + bx² + cx + d, где a, b, c, d – числа (а ≠ 0), а х – переменная, называют многочленом третьей степени.

Вообще, если a, b, c, …, l, m – числа (а ≠ 0), а х – переменная, то многочлен

axⁿ + bxⁿ^–¹ + cxⁿ^–² + … + lx + m

называют многочленом n –й степени (относительно x)

axⁿ, bxⁿ^–¹, … , lx, m – члены многочлена,

a, b, c, … , l, m – коэффициенты,

axⁿ – старший член многочлена,

а – коэффициент при старшем члене,

m – свободный член многочлена.

Обычно многочлен записывают по убывающим степеням переменной, то есть степени переменной х постепенно уменьшаются, в частности на первом месте стоит старший член, на последнем – свободный член.

Степень многочлена – это степень старшего члена.

ПРИМЕР:

5х⁵ – 2х³ + 3х² + 1 –

многочлен пятой степени, в котором 5х⁵– старший член, 1 – свободный член.

Если коэффициент при старшем члене равен 1, то многочлен называют приведённым, если указанный коэффициент отличается от 1, то неприведённым.

Корнем многочлена Р(х) называют такое значение х, при котором многочлен обращается в нуль.

ПРИМЕР:

Число 2 является корнем многочлена

Р(х) = х³ + 2х² – 7х – 2,

так как

Р(2) = 2³ + 2∙2² – 7∙2 – 2 = 0.

Задания к уроку 7

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 17 ноября 2014 г.