Урок 3. Одночлены

пятница, 14 ноября 2014 г.

Урок 3. Одночлены

Из целых выражений наиболее простыми являются одночлены.

Алгебраическое выражение, которое содержит только действия умножения и возведения в степень, называется одночленом.

ПРИМЕР:

6, –¹/₁₂, z, x³,

0,3a²x, 3a × 5c.

7ab²; –²/₅b;

²/₅ x²y²; –02³; c,

3a ∙ (2,5а³),

(5аb²) ∙ (0,4с³d),

х²у ∙ (–2z) ∙ ³/₄.

Любая сумма, разность, частное, даже если они возведены в степень, не являются одночленами.

ПРИМЕР:

Выражения
не являются одночленами.

Также не является одночленом выражение

так как представляет собой частное, но оно в отличие от рассмотренных выше может быть представлено в виде произведения числа ²/₃и переменных p и q, то есть в виде одночлена ²/₃ pq.

Стандартный вид одночлена.

Одночлен –3аах ∙ 5ах можно представить в различных видах Например, как –15ааахх или –15а³х². Одночлен –15а³х² отличается от одночленов –3аах ∙ 5ах и –15ааахх тем, что он имеет один числовой множитель, стоящий на первом месте, и каждое произведение одинаковых переменных в нём представлено степенью. Такой вид одночлена называют стандартным.

Любой одночлен можно привести к стандартному виду, то есть представить в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте и степеней различных переменных.

Если одночлен имеет только один числовой множитель, к тому же поставленный на первое место, и если каждая переменная входит только до одного множителя, то такой одночлен называется одночленом стандартного вида.

ПРИМЕР:

3а ∙ 5с =

3 ∙ 5 ∙ а ∙ с = 15ас,

0,5ху ∙ 4у³ =

0,5 ∙ 4 ∙ х ∙ у ∙ у³ = 2ху⁴,

4сх(–2сх³) =

4 ∙ (–2) ∙ с ∙ с ∙ х ∙ х³ = –8с²х⁴.

Одночлены

3а ∙ 5с, 2х³х², аb ∙ 8

записаны не в стандартном виде: первый содержит два числовых множителя 3 и 5, второй содержит два множителя с той же самой переменной х, в третьем числовой множитель 8 стоит не на первом месте

Понятие о коэффициенте одночлена.

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.

Одночлены такие, как аbс и –х², не содержат числовых множителей. Тем не менее их относят к одночленам, имеющим стандартный вид. Считают, что коэффициентами этих одночленов служат числа 1 и –1, так как

аbс = 1 ∙ аbс и –х²= (–1) ∙ х².

Если выражение содержит только буквенные множители, то его коэффициент равен единице или минус единице.

ПРИМЕР:

Вместо 1с пишут просто с, вместо 1аb просто пишут аb.

ПРИМЕР:

Коэффициенты одночленов

15xz, –8,3a², m³, –p

соответственно равны

15, –8,3, 1 и –1.

Коэффициенты 1 и –1 не принято писать.

ПРИМЕР:

Найдём коэффициент выражения

–а ∙ (–b).

РЕШЕНИЕ:

Так как

–а ∙ (–b) = аb,

то, коэффициентом выражения будет 1.

Коэффициент может быть целым числом или дробным.

Если коэффициент – натуральное число, то он показывает, сколько раз стоящее за ним выражение берётся слагаемым.

ПРИМЕР:

В выражении 5cd коэффициент целое число,

5cd = cd + cd + cd + cd + cd.

Если же коэффициент – дробное положительное число, то он показывает, какую дробь надо взять от значения стоящего за ним выражения.

ПРИМЕР:

В выражении ⁵/₆ ab коэффициент дробное число и означает, что при любых значениях a и b надо взять ⁵/₆ от их произведения.

С помощью коэффициентов можно короче записать многие выражения, содержащие одинаковые буквы, соединённые знаками <<+>> и <<–>>.

ПРИМЕР:

c + c + c + c + c = 5c,

x + x – y – y – y = 2x – 3y,

В дальнейшем понятие коэффициента обобщается, даже буквенные множители можно рассматривать как коэффициенты.

ПРИМЕР:

В выражении 2abx коэффициентом при х есть 2ab.

Понятие о степени одночлена.

В одночлене 5х² переменная х во второй степени. Говорят, что одночлен 5х² – второй степени, а одночлен 3,7х⁵ – пятой степени.

Если одночлен содержит нескольких переменных, то степень такого одночлена условились считать равной сумме показателей степеней этих переменных. В одночлене сумму показателей степеней переменных называют степенью одночлена.

Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех переменных, которые входят в этот одночлен.

ПРИМЕР:

Одночлен 8х³у²z имеет шестую степень, так как сумма показателей входящих в него переменных равна

3 + 2 + 1 = 6.

Степень одночлена –0,9аb равна двум.

Степень одночлена ³/₁₇m⁶n³ – девяти.

Всякое число является одночленом. Если одночлен число, считают, что его степень равна нулю. По определению полагают, что при

х ≠ 0, х⁰ = 1.

ПРИМЕР:

Число 5 можно представить в виде 5х⁰ или в виде 5а⁰b⁰. Степень каждого из одночленов 5х⁰, 5а⁰b⁰ и, следовательно, одночлена 5 равна нулю.

Выражению 0⁰ не приписывается никакого смысла.

Приведение подобных членов.

Два одночлена равны, если у них равны коэффициенты и они составлены из одинаковых букв с соответственно равными показателями.

Одночлены называются подобными, если они равны или отличаются только коэффициентами.

ПРИМЕР:

Одночлены 2a²b³ и ⁶/₃ a²b³ равны.

Одночлены 2a³, –3a³и ¹/₂ a³ подобны.

Подобные одночлены можно складывать и вычитать, в результате чего снова получается одночлен, подобный исходным (иногда получается 0).

Сложение и вычитание подобных одночленов называют приведением подобных членов.

Задания к уроку 3

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 14 ноября 2014 г.