Урок 20. Алгебраические дроби

среда, 14 октября 2015 г.

Урок 20. Алгебраические дроби

Частным видом рационального выражения является дробь, числитель и знаменатель которой многочлены. Такие дроби называют алгебраическими дробями. Помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными.

Алгебраическая дробь и её основное свойство.

Алгебраическое выражение называется дробным, если среди указанных в нём действий есть деление на буквенное выражение.

Простейшими среди дробных выражений считается выражение вида

где А и В – многочлены.

Они называются алгебраическими дробями. Многочлены А и В называются соответственно числителем и знаменателем рациональной дроби. Числитель и знаменатель называются также членами дроби.

ПРИМЕР:

Известно, что
Найдите значение выражения
РЕШЕНИЕ:
Основное свойство алгебраической дроби.

Если числитель и знаменатель алгебраической дроби умножить на один и тот же многочлен, который тождественно не равен нулю, то получим дробь, тождественно равную данной.

Это свойство называют основным свойством рациональной дроби и записывают так:

где А, В и С – многочлены, причём многочлены В и С не равны 0.

ПРИМЕР:
Основное свойство дроби может быть использовано для перемены знаков у членов дроби.

Значение дроби не изменится, если изменить знак у одного из членов дроби и перед самой дробью.

Если числитель и знаменатель дроби

умножить на –1, получим

Таким образом, значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя. Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь изменит свой знак:

Значит:

ПРИМЕР:
ПРИМЕР:
ПРИМЕР:
Целое рациональное выражение не содержит деление на буквенное выражение.

Одночлен считается частным видом многочлена. в частности, число 1 также можно рассматривать как многочлен. Поэтому каждое целое алгебраическое выражение можно считать алгебраической дробью со знаменателем равным 1. Каждую обыкновенную дробь также можно рассматривать как рациональную дробь.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Область допустимых значений (ОДЗ) алгебраической дроби.

Если целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных, так как для нахождения значения целого выражения нужно выполнить действия, которые всегда возможны, то дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла.

Числовые значения, которые могут принимать буквы в данном алгебраическом выражении, не лишая его смысла, называются допустимыми значениями для этих букв.

В рациональной дроби допустимыми являются те значения переменных, при которых не обращается в нуль знаменатель дроби.

ПРИМЕР:

Выражение 10 + ¹/_а не имеет смысла при а = 0. При всех остальных значениях а это выражение имеет смысл.

ПРИМЕР:

Найдите допустимые значения переменной в дроби:

РЕШЕНИЕ:

Чтобы найти, при каких значениях а знаменатель дроби обращается в нуль, нужно решить уравнение

а(а – 9) = 0.

Это уравнение имеет два корня: 0 и 9. Следовательно, допустимыми значениями переменной а являются все числа, кроме 0 и 9.

ПРИМЕР:

Найдите значение дроби
при а = ²/₃, b = –1,5

РЕШЕНИЕ:
ПРИМЕР:

Определить числовое значение выражения при а = 1 и n = –2,5:

Однако на 0 делить нельзя, следовательно, при данных значениях букв данное алгебраическое выражение не имеет числового значения. Говорят также, что при а = 1 и n = –2,5 это выражение лишено смысла или что эти значения недопустимы для данного выражения.

ОТВЕТ:

Данное выражение лишено смысла при а = 1 и n = –2,5.

Задания к уроку 20

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 14 октября 2015 г.