пятница, 20 марта 2015 г.

Урок 15. Квадрат суммы и квадрат разности двух чисел

Квадрат суммы двух чисел.

Пусть возводится в квадрат сумма двух одночленов:

(a + b)2.

Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть:

(a + b)2 = (a + b)(a + b).

Теперь можно просто раскрыть скобки, перемножив их и привести подобные слагаемые. Получаем:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) =

= a(a + b) + b(a + b) =

= aa + ab + ab + bb =

= a2 + 2ab + b2.

Опустив промежуточные вычисления и записав только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:
Квадрат суммы двучлена равен квадрату первого его члена плюс удвоенное произведение первого на второй плюс квадрат второго члена. 

Квадрат суммы позволяет быстро писать результат возведения суммы двух слагаемых в квадрат. Полученное равенство – тождество, его называют формулой квадрата двучлена.

ПРИМЕР:

Раскрыть скобки:

(х + 5)2.

РЕШЕНИЕ:

Без формулы:

(х + 5)2 = (х + 5)(х + 5) =

= х(х + 5) + 5(х + 5) =

= х2 + 5х + 5х + 25 =

= х2 + 10х + 25.

По формуле:

(х + 5)2 = х2 + 2 ∙ х ∙ 5 + 52 =

= х2 + 10х + 25.

Обратите внимание, насколько быстрее и с меньшими усилиями получен результат во втором случае. А когда эту и другие формулы освоите до автоматизма – будет ещё быстрее: вы сможете просто сразу же писать ответ. Поэтому эти формулы и называются

ФОРМУЛАМИ СОКРАЩЁННОГО УМНОЖЕНИЯ

В качестве  а  и  b  могут быть любые выражения – принцип остаётся тем же.

ПРИМЕР:

 (2x + y)2 = 
= (2x)2 + 2 × 2x × y + y2 =
= 4x2 + 4xy + y2.

ПРИМЕР:

(х3 + 3am)2 =

= (х3)2 + 2∙2х3∙3am + (3am)2 =

= х6 + 6amх3 + 9a2m2.

ПРИМЕР:

(3x + 2y)2 =

= (3x)2 + 2 ∙ 3x ∙ 2y + (2y)2 =

= 9x2 + 12xy + 4y2.

ПРИМЕР:

(m + 5a2b)2 =

= m2 + 10ma2b + 25a4b2.

Промежуточные вычисления можно выполнять устно.

По формуле квадрата суммы двучлена можно возводить в квадрат любой двучлен, в том числе  – a – b.

 (–a – b)2  = 
(–a)2 + 2(–a)(–b) + (–b)2 
= а2 + 2ab + b2.

ПРИМЕР:

(a + b – c)(a + b + c) =

= ((a + b) – c)((a + b) + c) =

= (a + b)2 – c2 = a2 + 2ab + b2 – c2.

Квадрат разности двух чисел.

Пусть возводится в квадрат разность двух одночленов:

(a – b)2.

Возведение в квадрат – это умножение числа или выражения само на себя, то есть:

(a – b)2 = (a – b)(a – b).

Теперь можно просто раскрыть скобки, перемножив их и привести подобные слагаемые. Получаем:

(a – b)2 = (a – b)(a – b) =

= a(a – b) – b(a – b) =

= aa – ab – ab + bb =

= a2 – 2ab + b2.

Опустив промежуточные вычисления и записав только начальное и конечное выражения, получим окончательную формулу:
Квадрат разности двучлена равен квадрату первого его члена минус  удвоенное произведение первого на второй плюс квадрат второго члена.

По формуле квадрата суммы двучлена можно возводить в квадрат любой двучлен, в том числе   –a + b:

 (–a + b)2  = 
(–a)2 + 2(–a)b + b2 
= а2 – 2ab + b2.

ПРИМЕР:

 (2x – y)2 = 
(2x)2 – 2 × 2x × y + y2 
= 4x2 – 4xy + y2.

ПРИМЕР:

(m – 5a2b)2 =

= m2 – 2 ∙ m ∙ 5a2b + 25a4b2 =

= m2 – 10ma2b + 25a4b2.

ПРИМЕР:

(3a2 – 5b3)2 =

= (3a2)2 – 2 ∙ 3a2 ∙ 5b3 + (5b3)2 =.

= 9a4 – 30a2b3 + 25b6.

ПРИМЕР:

(c – 7d)2 =

= c2 – 2 ∙ c ∙ 7d + (7d)2 =.

= c2 – 14cd + 49d2.

ПРИМЕР:

(m – 5a2b)2 =

= m2 – 10ma2b + 25a4b2.

Возведение в степень с помощью формул сокращённого умножения.

Для того чтобы возвести в квадрат двузначное число, можно воспользоваться формулами квадрата суммы или квадрата разности.

ПРИМЕР:

232 = (20 + 3)2 =

= 202 + 2 ∙ 20 ∙ 3 + 32 =

= 400 + 120 + 9 = 529.

692 = (70 – 1)2 =

= 702 + 2 ∙ 70 ∙ 1 + 12 =

= 4900 – 140 + 1 = 4761.

522 = (50 + 2)2 =

= 502 + 2 ∙ 50 ∙ 2 + 22 =

= 2500 + 200 + 4 = 2704.

792 = (80 – 1)2 =

= 802 + 2 ∙ 80 ∙ 1 + 12 =

= 6400 – 160 + 1 = 6241.

Задания к уроку 15
Другие уроки:
Автор: на

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)