Урок 11. Вынесение общего множителя за скобки

четверг, 27 ноября 2014 г.

Урок 11. Вынесение общего множителя за скобки

Разложение многочлена на множители.

Иногда можно преобразовать многочлен в произведение нескольких множителей – многочленов или одночленов. такое тождественное преобразование называют разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих множителей.

Разложить многочлен на множители – значит представить его в виде произведения многочленов, тождественного данному многочлену.

Вынесение общего множителя за скобки.

Один из способов разложения многочлена на множители – вынесение общего множителя за скобки. Это преобразование является непосредственным следствием распределительного закона

Чтобы разложить многочлен на множители вынесением общего множителя за скобки, надо:

– определить этот общий множитель;

– разделить на него все члены многочлена;

– записать произведение общего множителя на полученное частное, взяв это частное в скобки.

ПРИМЕР:

Разложить на множители:

ах + ау.

Каждый член многочлена ах + ау имеет общий множитель а. На основании распределительного закона умножения:

ах + ау = а(х + у).

Это означает, что данный многочлен ах + ау разложен на два множителя а и (х + у).

Чтобы убедиться, что правильно разложен многочлен на множители, необходимо перемножить полученные множители. Если правильно сделано разложение на множители, то в результате должен получиться данный многочлен.

Как правило, стараются вынести за скобки такой общий множитель, чтобы в скобках оставалось наипростейшее выражение. Поэтому часто за коэффициент общего множителя берут наибольший общий делитель коэффициентов всех членов данного многочлена или их модулей. Обычно при вынесении общего множителя за скобки каждую переменную, входящую во все члены многочлена, выносят с наименьшим показателем, который она имеет в данном многочлене. Если все коэффициенты многочлена – целые числа, то в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший по модулю общий делитель.

ПРИМЕР:

Вынести общий множитель за скобки:

2m – 7m + 3m.

РЕШЕНИЕ:

В данном выражении все слагаемые имеют общий множитель m. Поэтому,

2m – 7m + 3m = m(2 – 7 + 3).

В скобках записана сумма коэффициентов всех слагаемых. Она равна –2:

2 – 7 + 3 = –2.

Поэтому

2m – 7m + 3m = –2m.

В выражении

2m – 7m + 3m

все слагаемые имеют одинаковую буквенную часть. Такие слагаемые называются подобными слагаемыми. Подобные слагаемые могут отличаться один от одного лишь коэффициентами.

ПРИМЕР:

Разложить на множители многочлен:

28х³ – 35х⁴.

РЕШЕНИЕ:

28х³ – 35х⁴ =

= 7х³ ∙ 4 – 7х³ ∙ 5х =

= 7х³ ∙ (4 – 5х).

ПРИМЕР:

Вынести общий множитель за скобки:

4ab + 2aс.

РЕШЕНИЕ:

Каждый член 4ab и 2aс имеет общий множитель 2а, так как

4ab = 2a∙ 2b и 2aс = 2a∙ с.

Поэтому,

4ab + 2aс = 2a∙ 2b + 2a∙ с =

= 2a∙ (2b + с).

ПРИМЕР:

2ax³ – 4a²x² = 2ax²(x – 2a²).

40m²n – 25mn² + 30mn =
5mn(8m – 5n + 6).

ПРИМЕР:

Найдите значение выражения

3а² – 12а – 2,

если

а² – 4а + 2 = 6.

РЕШЕНИЕ:

Если а² – 4а + 2 = 6,

то а² – 4а = 4.

Преобразуем данное выражение следующим образом:

3а² – 12а – 2 = 3(а² – 4а) – 2.

Подставим вместо а² – 4а 4, получим:

3 ∙ 4 – 2 = 10.

Иногда приходится раскладывать на множители и такие выражения, которые имеют общий многочленный множитель.

ПРИМЕР:

В выражении а(b – с) + х(b – с) общий множитель (b – с). Его тоже можно вынести за скобки:

а(b – с) + х(b – с) =

= (b – с)(а + х).

ПРИМЕР:

В выражении x(p – a) – y(p – a) – z(p – a) общий множитель (p – a). Его тоже можно вынести за скобки:

x(p – a) – y(p – a) – z(p – a) =

= (p – a)(x – y – z).

ПРИМЕР:

В выражении a²(x – 1) – b(1 – x) общий множитель (x – 1). Его тоже можно вынести за скобки:

a²(x – 1) – b(1 – x) =

= a²(x – 1) + b(x – 1) =

= (x – 1)(a² + b).

Задания к уроку 11

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

четверг, 27 ноября 2014 г.