Урок 21. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

пятница, 23 октября 2015 г.

Урок 21. Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю

Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю выполняется так же, как и в арифметике. При нахождении общего знаменателя у обыкновенных дробей мы находили наименьшее общее кратное знаменателей, раскладывая их на простые множители. Аналогично для нахождения общего знаменателя алгебраических дробей может оказаться удобным разложение знаменателей на множители. Простейшим общим знаменателем дробей с одночленными знаменателями есть наименьшее общее кратное коэффициентов знаменателей (если они – натуральные числа), умноженное на все различные буквы, входящие в знаменатели, причём каждую букву берут с наибольшим показателем, с каким она входит в знаменатели.

Общим знаменателем нескольких рациональных дробей называют целое рациональное выражение, которое делится на знаменатель каждой дроби.

ПРИМЕР:

Для дробейобщими знаменателями будут многочлены:

(х + 2)(х – 2) = х² – 4,

2(х² – 4), х(х² – 4).

Общий знаменатель, на который делится любой другой общий знаменатель без остатка, называется наименьшим общим знаменателем.

В приведённом примере наименьшим общим знаменателем будет многочлен х² – 4.

ПРИМЕР:

Приведём дробь
к знаменателю 35y².

Так как

35y³ = 7y × 5y²,

то, умножив числитель и знаменатель дроби
на 5y², получим:

Множитель 5y²называют дополнительным множителем к числителю и знаменателю дроби
Для вычисления простейшего общего знаменателя дробей с многочленными знаменателями сначала надо их разложить на множители.

ПРИМЕР:

Простейший общий знаменатель дробей:

равен 6а²b².

Дополнительные множители следующие:

6а²b² : ab = 6ab,

6а²b² : 3a²b = 2b,

6а²b² : 2а²b² = 3.

Поэтому имеем:

ПРИМЕР:

Привести к общему знаменателю алгебраические дроби:

Следовательно,

ОТВЕТ:
Если не требуется, чтобы общий знаменатель был простейшим, можно, не тратя времени на разложение многочленов, просто взять за общий знаменатель произведение знаменателей данных дробей.

ПРИМЕР:

Общим знаменателем дробей
служит многочлен (х + 2)(х – 2), так как он делится и на х +2, и на х – 2. Общим знаменателем могут также служить и многочлен

3(х + 2)²(х – 2), и многочлен

х(х + 2)(х – 2), и многочлен

5х²(х + 2)(х – 2)³ и так далее.

Обычно берут такой общий знаменатель, что любой другой общий знаменатель делится на выбранный. Такой простейший знаменатель называют наименьшим общим знаменателем.

В данном примере наименьший общий знаменатель равен

(х + 2)(х – 2).

Имеем:

Приведение данных дробей к общему знаменателю достигнуто путём умножения числителя и знаменателя первой дроби на х – 2, а числителя и знаменателя второй дроби на х + 2. Многочлены х – 2 и х + 2 называют дополнительными множителями соответственно для первой и второй дроби. Дополнительный множитель для данной дроби равен частному от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.

Чтобы несколько рациональных дробей привести к общему знаменателю, нужно:

– разложить знаменатель каждой дроби на множители;

– составить общий знаменатель, включив в произведение все множители, полученные в результате разложений, если некоторый множитель имеется в нескольких разложениях, то он берётся с показателем степени, равным наибольшему из имеющихся;

– найти дополнительные множители для каждой из дробей (для этого общий знаменатель делят на знаменатель дроби);

– домножив числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель, привести дроби к общему знаменателю.

ПРИМЕР:

Привести к общему знаменателю дроби:

РЕШЕНИЕ:

Разложим знаменатели дробей на множители:

В общий знаменатель надо включить следующие множители:

(a – b), (a + b), а²,

а также наименьшее общее кратное чисел 12, 18, 24, то есть

(12, 18, 24) = 72.

Значит, общий знаменатель имеет вид:

72а² ∙ (a – b)(a + b).

Дополнительные множители: для первой дроби 6а², для второй дроби 4(a – b), для третьей дроби 3а(a + b). Получаем:

Задания к уроку 21

Другие уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 23 октября 2015 г.