Урок 22. Сокращение алгебраических дробей

Сократить дробь – значит разделить её числитель и знаменатель на их общий множитель.

Возможность такого сокращения обусловлена основным свойством дроби. Если числитель и знаменатель дроби многочлены, то их надо предварительно разложить на множители. Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если общих множителей нет, то преобразование дроби посредством сокращения дроби невозможно.

 Примеры сокращения алгебраических дробей, если в числителе и знаменателе дроби находятся одночлены.

Если числитель и знаменатель дроби одночлены, то общие делители находят устно и затем сокращают.

ПРИМЕР:

ПРИМЕР:

Сократить дробь:

РЕШЕНИЕ:

Примеры сокращения алгебраических дробей с помощью группировки и вынесения общего множителя за скобки.

ПРИМЕР:

Сократить дробь:

РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР:

Сократить дробь:

РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР:

Сократить дробь:

РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР:

Сократить дробь:

РЕШЕНИЕ:

Преобразуем числитель. Вынесем общий множитель за скобки:

8х² – 40х + 32 = 8(х² – 5х + 4) =

Воспользуемся способом группировки:

= 8(х² – х – 4х + 4) =

= 8(х(х – 1) – 4(х – 1)) =

= 8(х – 1)(х – 4).

Получим решение:

Примеры сокращения алгебраических дробей с помощью формул сокращённого умножения.

ПРИМЕР:

Остальное преобразование и равенствоправильно только для  m ≠ 1.

ПРИМЕР:

Сократить дробь:

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

х² – 3ху = х(х – 3у).

9у² – х² = –(х² – 9у²) =

= – (х – 3у)(х + 3у).

Значит:

Сокращение дроби выполнено при условии  х – 3у ≠ 0.

ПРИМЕР:

Сократить дробь:

РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР:

Сократить дробь:

РЕШЕНИЕ:

ПРИМЕР:

Сократить дробь:

РЕШЕНИЕ:

Разложение квадратного трёхчлена на множители.

ПРИМЕР:

Необходимо квадратный трёхчлен разложить на множители:

х² + 14х + 24.

РЕШЕНИЕ:

Разложим трёхчлен на множители, выделив с выражения

х² + 14х + 24

квадрат двучлена.                                                                                            Первый член есть квадрат числа  х  (первое число), второй член  (14х)  можно рассматривать как удвоенное произведение первого числа на второе число, которое равно  7.

14 = 2 × х × 7.

Чтобы получить квадрат двучлена, прибавим квадрат второго числа

7² = 49,

а чтобы числовое значение не изменилось, отнимем это же самое число  (49). Получим:

(х² + 14х + 49) – 49 + 24 =

= (х + 7)² – 25 = (х + 7)² – 5².

Применив формулу разности квадратов, получим:

(х + 7 + 5)(х + 7 – 5) =

= (х + 12)(х + 2).

Окончательный ответ:

х² + 14х + 24 = (х + 12)(х + 2).

Сокращение алгебраических дробей с помощью разложения квадратного трёхчлена на множители.

ПРИМЕР:

Сократить дробь:

РЕШЕНИЕ:

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

b² + b – 12 =

= b² + 2 ∙ 0,5 ∙ b + 0,5² – 0,5² – 12 =

= b² + 2 ∙ 0,5 ∙ b + 0,5² – 12,25 =

= (b + 0,5)² – (3,5)² =

= (b + 0,5 + 3,5)(b + 0,5 – 3,5) =

= (b + 4)(b – 3).

Числитель дроби разложим на множители с помощью формулы разности квадратов:

b² – 16 = (b + 4)(b – 4).

Получаем окончательный ответ:

ПРИМЕР:

Сократить дробь:

РЕШЕНИЕ:

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

а² + а – 6 =

= а² + 2 ∙ 0,5 ∙ а + 0,5² – 0,5² – 6 =

= а² + 2 ∙ 0,5 ∙ а + 0,5² – 6,25 =

= (а + 0,5)² – (2,5)² =

= (а + 0,5 + 3,5)(а + 0,5 – 3,5) =

= (а + 4)(а – 3).

Знаменатель дроби разложим на множители с помощью формулы разности квадратов:

а² – 9 = (а + 3)(а – 3).

Получаем окончательный ответ:

ПРИМЕР:

Сократить дробь:

РЕШЕНИЕ:

Разложим квадратный трёхчлен на множители в числителе:

х² – 8х + 12 =

= х² – 2 ∙ 4 ∙ х + 4² – 4² + 12 =

= х² – 2 ∙ 4 ∙ х + 4² – 4 =

= (х – 4)² – (2)² =

= (х – 4 + 2)(х – 4 – 2) =

= (х – 2)(х – 6).

Разложим квадратный трёхчлен на множители в знаменателе:

х² – 12х + 20 =

= х² – 2 ∙ 6 ∙ х + 6² – 6² + 20 =

= х² – 2 ∙ 6 ∙ х + 6² – 16 =

= (х – 6)² – (4)² =

= (х – 6 + 4)(х – 6 – 4) =

= (х – 2)(х – 10).

Получаем окончательный ответ:

ПРИМЕР:

Сократить дробь:

РЕШЕНИЕ:

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

4а² + а – 3 =

= а² + 0,25а – 0,75 =

= а² + 2 ∙ 0,125 ∙ а + 0,125² – 0,125² – 0,75 =

= а² + 2 ∙ 0,125 ∙ а + 0,125² – 0,765625 =

= (а + 0,125)² – (0,875)² =

= (а + 0,125 + 0,875)(а + 0,125 – 0,875) =

= (а + 1)(а – 0,75) = (а + 1)(4а – 3).

Числитель дроби разложим на множители с помощью формулы разности квадратов:

а² – 1 = (а + 1)(а – 1).

Получаем окончательный ответ:

ПРИМЕР:

Сократить дробь:

РЕШЕНИЕ:

Разложим квадратный трёхчлен на множители в знаменателе:

2а² – 11а – 6 =

= а² – 5,5а – 3 =

= а² – 2 ∙ 2,75 ∙ а + 2,75² – 2,75² – 3 =

= а² – 2 ∙ 2,75 ∙ а + 2,75² – 10,5625 =

= (а – 2,75)² – (3,25)² =

= (а – 2,75 + 3,25)(а – 2,75 – 3,25) =

= (а – 0,5)(а – 6) = (2а – 1)(а – 6).

Числитель дроби разложим на множители с помощью формулы квадрата разности двух чисел:

а² – 12а + 36 = (а – 6)².

Получаем окончательный ответ:

ПРИМЕР:

Сократить дробь:

РЕШЕНИЕ:

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

5а² – 16а + 3 =

= а² – 3,2а + 0,6 =

= а² – 2 ∙ 1,6 ∙ а + 1,6² – 1,6² + 0,6 =

= а² – 2 ∙ 1,6 ∙ а + 1,6² – 1,96 =

= (а – 1,6)² – (1,4)² =

= (а – 1,6 + 1,4)(а – 1,6 – 1,4) =

= (а – 0,2)(а – 3) =

= (а – 3)(5а – 1).

Числитель дроби разложим на множители с помощью формулы разности кубов:

а³ – 27 = (а – 3)(а² + 3а + 9).

Получаем окончательный ответ:

Применение различных способов алгебраических преобразований при сокращении дробей.

ПРИМЕР:

Преобразуем числитель дроби. Прибавим и отнимем  a²b².

a⁴ + a²b² + b⁴ + a²b² – a²b² =

= a⁴ + 2a²b² + b⁴ – a²b² =

= (a² + b²)² – a²b² =

= (a² + b² – ab)( a² + b² + ab).

Преобразуем знаменатель дроби. Сгруппируем члены многочлена следующим образом:

a³ + b³ + 2a²b + 2ab² =

= (a³ + b³) + 2ab(а + b) =

= (а + b)(a² + b² – ab) + 2ab(а + b) =

= (а + b)(a² + b² – ab + 2ab) =

= (а + b)(a² + b² + ab).

Подставим в числитель и знаменатель дроби полученные результаты и получим окончательный ответ:

ПРИМЕР:

Задания к уроку 22

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки:

• Урок 1. Рациональные алгебраические выражения
• Урок 2. Тождественные выражения
• Урок 3. Одночлены
• Урок 4. Умножение одночленов
• Урок 5. Возведение в степень одночленов
• Урок 6. Деление одночленов
• Урок 7. Многочлены
• Урок 8. Сложение и вычитание многочленов
• Урок 9. Умножение одночлена на многочлен
• Урок 10. Умножение многочленп на многочлен
• Урок 11. Вынесение общего множителя за скобки
• Урок 12. Способ группировки
• Урок 13. Произведение суммы двух чисел на их разность
• Урок 14. Разность квадратов двух чисел
• Урок 15. Квадрат суммы и квадрат разности двух чисел
• Урок 16. Преобразование многочлена в квадрат суммы или квадрат разности двух выражений
• Урок 17. Сумма и разность кубов двух чисел
• Урок 18. Куб суммы и куб разности двух чисел
• Урок 19. Применение различных способов разложения многочлена на множители
• Урок 20. Алгебраические дроби
• Урок 21. Сокращение дробей (1)
• Урок 23. Сложение алгебраических дробей
• Урок 24. Вычитание алгебраических дробей
• Урок 25. Умножение алгебраических дробей
• Урок 26. Деление алгебраических дробей
• Урок 27. Возведение алгебраических дробей в целую положительную степень
• Урок 28. Возведение алгебраических дробей в целую отрицательную степень 
• Урок 29. Преобразование алгебраических выражений