Уроки математики и физики (RU + UA)

вторник, 10 ноября 2015 г.

Урок 22. Сокращение алгебраических дробей

Сократить дробь – значит разделить её числитель и знаменатель на их общий множитель.

Возможность такого сокращения обусловлена основным свойством дроби. Если числитель и знаменатель дроби многочлены, то их надо предварительно разложить на множители. Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если общих множителей нет, то преобразование дроби посредством сокращения дроби невозможно.

 Примеры сокращения алгебраических дробей, если в числителе и знаменателе дроби находятся одночлены.

Если числитель и знаменатель дроби одночлены, то общие делители находят устно и затем сокращают.

ПРИМЕР:

ПРИМЕР:

Сократить дробь:
РЕШЕНИЕ:
Примеры сокращения алгебраических дробей с помощью группировки и вынесения общего множителя за скобки.

ПРИМЕР:

Сократить дробь:
РЕШЕНИЕ:
ПРИМЕР:

Сократить дробь:
РЕШЕНИЕ:
ПРИМЕР:

Сократить дробь:
РЕШЕНИЕ:
ПРИМЕР:

Сократить дробь:
РЕШЕНИЕ:

Преобразуем числитель. Вынесем общий множитель за скобки:

8х2 – 40х + 32 = 8(х2 – 5х + 4) =

Воспользуемся способом группировки:

= 8(х2х – 4х + 4) =

= 8(х(х – 1) – 4(х – 1)) =

= 8(х – 1)(х – 4).

Получим решение:
Примеры сокращения алгебраических дробей с помощью формул сокращённого умножения.

ПРИМЕР:
Остальное преобразование и равенствоправильно только для  m 1.

ПРИМЕР:

Сократить дробь:
РЕШЕНИЕ:

Имеем:

х2 – 3ху = х(х – 3у).

9у2х2 = –(х2 – 9у2) =

= – (х – 3у)(х + 3у).

Значит:
Сокращение дроби выполнено при условии  х – 3у 0.

ПРИМЕР:

Сократить дробь:
РЕШЕНИЕ:
ПРИМЕР:

Сократить дробь:
РЕШЕНИЕ:
ПРИМЕР:

Сократить дробь:
РЕШЕНИЕ:
Разложение квадратного трёхчлена на множители.

ПРИМЕР:

Необходимо квадратный трёхчлен разложить на множители:

х2 + 14х + 24.

РЕШЕНИЕ:

Разложим трёхчлен на множители, выделив с выражения

х2 + 14х + 24

квадрат двучлена.                                                                                            Первый член есть квадрат числа  х  (первое число), второй член  (14х)  можно рассматривать как удвоенное произведение первого числа на второе число, которое равно  7.

14 = 2 × х × 7.

Чтобы получить квадрат двучлена, прибавим квадрат второго числа

72 = 49,

а чтобы числовое значение не изменилось, отнимем это же самое число  (49). Получим:

(х2 + 14х + 49) – 49 + 24 =

= (х + 7)2 – 25 = (х + 7)2 – 52.

Применив формулу разности квадратов, получим:

(х + 7 + 5)(х + 7 – 5) =

= (х + 12)(х + 2).

Окончательный ответ:

х2 + 14х + 24 = (х + 12)(х + 2).

Сокращение алгебраических дробей с помощью разложения квадратного трёхчлена на множители.

ПРИМЕР:

Сократить дробь:
РЕШЕНИЕ:

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

b2 + b – 12 =

= b2 + 2 0,5 b + 0,52 – 0,52 – 12 =

= b2 + 2 0,5 b + 0,52 – 12,25 =

= (b + 0,5)2 – (3,5)2 =

= (b + 0,5 + 3,5)(b + 0,5 – 3,5) =

= (b + 4)(b – 3).

Числитель дроби разложим на множители с помощью формулы разности квадратов:

b2 – 16 = (b + 4)(b – 4).

Получаем окончательный ответ:
ПРИМЕР:

Сократить дробь:
РЕШЕНИЕ:

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

а2 + а – 6 =

= а2 + 2 0,5 а + 0,52 – 0,52 – 6 =

= а2 + 2 0,5 а + 0,52 – 6,25 =

= (а + 0,5)2 – (2,5)2 =

= (а + 0,5 + 3,5)(а + 0,5 – 3,5) =

= (а + 4)(а – 3).

Знаменатель дроби разложим на множители с помощью формулы разности квадратов:

а2 – 9 = (а + 3)(а – 3).

Получаем окончательный ответ:
ПРИМЕР:

Сократить дробь:
РЕШЕНИЕ:

Разложим квадратный трёхчлен на множители в числителе:

х2 – 8х + 12 =

= х2 – 2 4 х + 42 – 42 + 12 =

= х2 – 2 4 х + 42 – 4 =

= (х – 4)2 – (2)2 =

= (х – 4 + 2)(х – 4 – 2) =

= (х – 2)(х – 6).

Разложим квадратный трёхчлен на множители в знаменателе:

х2 – 12х + 20 =

= х2 – 2 6 х + 62 – 62 + 20 =

= х2 – 2 6 х + 62 – 16 =

= (х – 6)2 – (4)2 =

= (х – 6 + 4)(х – 6 – 4) =

= (х – 2)(х – 10).

Получаем окончательный ответ:
ПРИМЕР:

Сократить дробь:
РЕШЕНИЕ:

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

4а2 + а – 3 =

= а2 + 0,25а – 0,75 =

= а2 + 2 0,125 а + 0,1252 – 0,1252 – 0,75 =

= а2 + 2 0,125 а + 0,1252 – 0,765625 =

= (а + 0,125)2 – (0,875)2 =

= (а + 0,125 + 0,875)(а + 0,125 – 0,875) =

= (а + 1)(а – 0,75) = (а + 1)(4а – 3).

Числитель дроби разложим на множители с помощью формулы разности квадратов:

а2 – 1 = (а + 1)(а – 1).

Получаем окончательный ответ:
ПРИМЕР:

Сократить дробь:
РЕШЕНИЕ:

Разложим квадратный трёхчлен на множители в знаменателе:

2а2 – 11а – 6 =

= а2 – 5,5а – 3 =

= а2 – 2 2,75 а + 2,752 – 2,752 – 3 =

= а2 – 2 2,75 а + 2,752 – 10,5625 =

= (а – 2,75)2 – (3,25)2 =

= (а – 2,75 + 3,25)(а – 2,75 – 3,25) =

= (а – 0,5)(а – 6) = (2а – 1)(а – 6).

Числитель дроби разложим на множители с помощью формулы квадрата разности двух чисел:

а2 – 12а + 36 = (а – 6)2.

Получаем окончательный ответ:
ПРИМЕР:

Сократить дробь:
РЕШЕНИЕ:

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

5а2 – 16а + 3 =

= а2 – 3,2а + 0,6 =

= а2 – 2 1,6 а + 1,62 – 1,62 + 0,6 =

= а2 – 2 1,6 а + 1,62 – 1,96 =

= (а – 1,6)2 – (1,4)2 =

= (а – 1,6 + 1,4)(а – 1,6 – 1,4) =

= (а – 0,2)(а – 3) =

= (а – 3)(5а – 1).

Числитель дроби разложим на множители с помощью формулы разности кубов:

а3 – 27 = (а – 3)(а2 + 3а + 9).

Получаем окончательный ответ:
Применение различных способов алгебраических преобразований при сокращении дробей.

ПРИМЕР:
Преобразуем числитель дроби. Прибавим и отнимем  a2b2.

a4 + a2b2 + b4 + a2b2a2b2 =

= a4 + 2a2b2 + b4a2b2 =

= (a2 + b2)2a2b2 =

= (a2 + b2ab)( a2 + b2 + ab).

Преобразуем знаменатель дроби. Сгруппируем члены многочлена следующим образом:

a3 + b3 + 2a2b + 2ab2 =

= (a3 + b3) + 2ab(а + b) =

= (а + b)(a2 + b2ab) + 2ab(а + b) =

= (а + b)(a2 + b2ab + 2ab) =

= (а + b)(a2 + b2 + ab).

Подставим в числитель и знаменатель дроби полученные результаты и получим окончательный ответ:
ПРИМЕР:
Задания к уроку 22
Другие уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий