среда, 7 октября 2015 г.

Урок 18. Куб суммы и куб разности двух чисел

Куб суммы двух чисел.

Куб двучлена  a + b  представим в виде многочлена:

 (a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = 
(a + b) (a2 + 2ab + b2) = 
a3 + a2b + 2a2b + 2ab2 + ab2 + b3 
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Получили тождество:
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго числа.

ПРИМЕР:

 (5 + 2x)3 = 
53 + 3 × 53 × 2x + 3 × 5 × (2x)2 + (2x)3 
= 123 + 150x + 60x2 + 8x3.

ПРИМЕР:

(х + 4у)3 =

= х3 + 3 ∙ х2 ∙ 4у + 3 ∙ х ∙ (4у)2 + (4у)3 =

= х3 + 12х2у + 48ху2 + 64у3.

Эта формула читается и справа налево:

Куб первого числа, плюс утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, плюс куб второго числа равен кубу суммы двух чисел.
ПРИМЕР:

b3 + 3b2 + 3b + 1 = (b + 1)3.

Куб разности двух чисел

Куб двучлена  a – b  представим в виде многочлена:

(a – b)3 = (a – b)(a – b)2 =

= (a – b) (a2 – 2ab + b2) =

= a3 – a2b – 2a2b + 2ab2 + ab2 – b3 =

= a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.

Получили тождество:

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго числа.

ПРИМЕР:

(5 – 2x)3 =

= 53 – 3 ∙ 52 ∙ 2x + 3 ∙ 5 ∙ (2x)2 – (2x)3 =

= 125 – 150x + 60x2 – 8x3.

ПРИМЕР:

(2b – 5)3 =

= (2b)3 – 3 ∙ (2b)2 ∙ 5 + 3 ∙ 2b ∙ 52 – 53 =

= 8b3 – 60b2 + 150b – 125.

Эта формула читается и справа налево:

Куб первого числа, минус утроенное произведение квадрата первого на второе, плюс утроенное произведение первого на квадрат второго, минус куб второго числа равен кубу разности двух чисел
ПРИМЕР:

n3 – 6n2p + 12np2 – 8p3 = (n – 2p)3.

Применение формул сокращённого умножения.

При помощи формул сокращённого умножения можно сравнительно быстро выполнить тождественные преобразования многих алгебраических выражений.

ПРИМЕР:

Упростить:

 (х – 1)(х + 1)(х4 + х2 + 1) – (х2 + 1)3.
(х – 1)(х + 1) = х2 – 1;
(х2 – 1)(х4 + х2 + 1) = х6 – 1;
(х2 + 1)3 = х6 + 3х4 + 3х2 + 1;
х6 – 1 – (х6 + 3х4 + 3х2 + 1) 
= –3х4 – 3х2 – 2.

Однако удобней преобразования выполнять цепочкой.

(х – 1)(х + 1)(х4 + х2 + 1) – (х2 + 1)3 
=  (х2 – 1)(х4 + х2 + 1) – (х2 + 1)3 
= (х6 – 1) – (х2 + 1)3 = 
х6 – 1 – (х6 + 3х4 + 3х2 + 1) 
= –3х4 – 3х2 – 2.

Задания к уроку 18
Другие уроки:
Автор: на

Комментариев нет:

Отправить комментарий

Подписаться на: Комментарии к сообщению (Atom)