Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

понедельник, 25 августа 2014 г.

Урок 5. Кут і коло

ВІДЕОУРОК
Кут, вершина якого збігається з центром кола, називається центральним кутом. 

ПРИКЛАД:

 ∠ АОВ – центральний кут.


Сторони центрального угла перетинають круг у двох точках і поділяють його на дві дуги.

Якщо центральний кут розгорнутий, то йому відповідають два півкола.

Якщо центральний кут нерозгорнутий, то дуга, розташована всередині цього кута, менше півкола, а друга дуга більше півкола.

Кожна дуга кола містить деяку кутову міру – міру відповідного їй центрального кута. Говорять також, що центральний кут вимірюється дугою, яку він спирається. Пишуть:

∪АВ = 60°.

Кутова міра всього кола дорівнює  360°.
Півколо дорівнює розгорнутому куту, тобто вона дорівнює  180°. Якщо дуга кола менша або дорівнює півколу, то її градусна міра дорівнює градусній мірі відповідного їй центрального кута. Якщо дуга кола більша за півкола, то її градусна міра дорівнює  360°  мінус центральний кут. Сума градусних заходів двох дуг кола із загальними кінцями дорівнює  360°.

Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло, називається вписаним кутом.

Якщо дуга лежить у внутрішній області вписаного кута, то говорять, що даний вписаний спирається на дугу. 

ПРИКЛАД:

 ∠ АВС – вписаний кут.
– вписаний кут вимірюється половиною дуги, яку він спирається;

ЗАДАЧА:

Кут  АВС – вписаний в коло з центром  О, кут 

АОС = 120°.

Знайти кут  АВС.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

∠ АВС = 1/2 ∠ АОС = 1/2 ×120° = 60°.

ВІДПОВІДЬ:  60°. 

ЗАДАЧА:

Точки  А, В  і  С  лежать на колі з центром  О. Знайдіть кут  АОС, якщо  ∠ АВС = 66°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Кут  АВС, вписаний у коло, спирається на дугу  АС.
∠ АОС = 132° – так як це центральний кут даного кола і він у два рази більший за вписаний.
– вписані кути, що спираються на ту саму дугу, рівні;
– вписаний кут, що спирається на півколо – прямий;

ЗАДАЧА:

Точка  О – центр кола, зображеного на рисунку.
Чому дорівнює градусна міра кута  АОС ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Вписаний кут  АВС  спирається на дугу  АmС, тому її градусна міра

2 ∙ 130° = 260°.

Градусна міра дуги, на яку спирається центральний кут АОС:

360° – 260° = 100°,

∠ АОС = 100°.

ЗАДАЧА:

Знайдіть вписаний кут, який спирається на дугу, що становить  1/4  кола.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

360° : 4 = 90° – міра дуги,

90° : 2 = 45° – міра вписаного кута.

ЗАДАЧА:

Точка  О – центр кола, зображеного на рисунку. Знайдіть градусну міру кута  АВС.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

∪ АС = 52°, тоді

∠ АВС  = 1/2 ∪ АС =

= 1/2 ∙ 52° = 26°.

Довжина дуги кола.

Кут й дуги вимірюють у градусах й радіанах. Довжина дуги
де  n  – градусна міра відповідного центрального кута.
Нехай  l – довжина дуги кола радіуса  R, α – радіанна міра центрального кута цього кола, що спирається на дугу, що розглядається.
На підставі визначення радіанної міри кута маємо:
Остання рівність дозволяє виразити довжину  l  дуги кола через  α  і  R:

l = R∙ α.

Довжина кола дорівнює довжині радіусу цього кола, помноженого на радіальну міру центрального кута, що спирається на цю дугу.

ЗАДАЧА:

Знайдіть градусну міру дуги кола, довжина якої дорівнює  π см, якщо радіус кола дорівнює  12 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ЗАДАЧА:

Знайдіть градусну міру дуги кола, довжина якої дорівнює  2π см, якщо радіус кола дорівнює  6 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ЗАДАЧА:

Кінці хорди кола ділять його на дві дуги, градусні міри яких відносяться як  1 : 17. Знайдіть градусну міру меншої дуги.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  х – градусна міра однієї дуги, тоді  17х – іншої.

х + 17х = 360°,

18х = 360°,  х = 20°.

ЗАДАЧА:

Знайдіть довжину дуги кола, градусна міра якої дорівнює  60°, якщо радіус кола – 7 см.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Довжина кола дорівнює

2π ∙  7 = 14π см.

Довжина дуги кола дорівнює

14π : 360° ∙ 60° = 7π/3 см.

ЗАДАЧА:

Знайдіть довжину  1/3  дуги кола радіуса  12 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

l = 2πr = 2π ∙ 12 = 24π см,

1/3 l =1/3 ∙ 24π = 8π см.

ЗАДАЧА:

Точки  M  і  N  ділять коло на дві дуги, різниця градусних заходів яких дорівнює  90°. Чому рівні градусні заходи кожної з дуг ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Сума градусних заходів дуг дорівнює  360°, а різниця дорівнює  90°. Позначимо градусні заходи цих дуг  х  і  у. Маємо:
Вирішуючи цю систему, отримаємо:

х = 225°, у = 135°.

ЗАДАЧА:

Знайти довжину  l  дуги кола радіуса  20 см, якщо ця дуга стягує центральний кут, що дорівнює  48°42'.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Ми знаємо, що один радіан дорівнює:

1 рад = 57°18'.

Отже, радіанна міра кута  48°42'  дорівнюватиме:

48°42' : 57°18' ≈ 0,8467 ≈ 0,8500.

Тоді маємо:

l ≈ 20 ∙ 0,8500 ≈ 17 см.

ЗАДАЧА:

Знайти довжину  l  дуги кола, радіус якого  R  дорівнює  25 см, якщо дуга містить  42°24'.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Радіанна міра цієї дуги дорівнює  0,7400. Тоді дуги обчислюються так:

l = 25 ∙ 0,7400 ≈ 18,5 см.

– кут, вершина якого лежить в середині кола, вимірюється підлозі сумою двох дуг, на які спираються даний і вертикальний з ним кути;


– кут, сторони якого перетинають коло, а вершина лежить поза коло, вимірюється напіврізністю дуг цього кола, які лежать усередині кута;

–  кут між дотичною та хордою, яка проходить через точку торкання, вимірюється половиною дуги, що лежить між його сторонами.
– якщо дві хорди кола перетинаються, то твір відрізків однієї хорди дорівнює твору відрізків іншої хорди.

 ПРИКЛАД:

 Якщо  АВ  и  СD – хорди кола, що перетинаються в точці  К, то

 АК × ВК = СК × DК.
– відрізки дотичних до кола, приведені з однієї точки, рівні і складають рівні кути з прямою, що проходить через точку і центр кола.
Завдання до уроку 5
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий