Урок 8. Прямокутній трикутник (1).

среда, 24 сентября 2014 г.

Урок 8. Прямокутній трикутник (1).

ВІДЕОУРОК
Прямокутним називають трикутник, у якого один з кутів є прямим.

Сторона прямокутного трикутника, що лежить навпроти прямого кута – називається гіпотенузою, а дві інші сторони – катетами. У кожному прямокутному трикутнику гіпотенуза більша за кожен катет.

Ознаки рівності прямокутних трикутників.

– якщо катети одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катетам іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні;

– якщо катет і гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету і гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні;

– якщо гіпотенуза й гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й гострому куту іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні;

– якщо гіпотенуза й катет одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й катету іншого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.
Якщо АNМ – прямокутний трикутник із прямим кутом N, його катет АN – перпендикуляр, проведений з точки А на пряму NМ. Гіпотенузу АМ називають також похилою, проведеною з точки А до прямої NМ, а катет NМ – проекцією цієї похилої на пряму NМ. Будь-який трикутник можна розрізати на два прямокутні трикутники, а для кожного прямокутного трикутника справедлива теорема Піфагора.

Якщо трикутнику АNМ кут N – прямий, то

NМ² + АN² = АМ².

Теорема Піфагора.

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Теорема, обернена до теоремі Піфагора. Якщо квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін, то цей трикутник – прямокутний.

Якщо в трикутнику зі сторонами а, b і с справджується нерівність

c²> a²+ b²

то кут, протилежний стороні с, тупий.

Властивості прямокутних трикутників

– сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°;

– у прямокутному трикутнику гіпотенуза більша від катета;

– катет прямокутного трикутника, якій лежить проти кута 30°, дорівнює половині гіпотенузі.

Справедливе й обернене твердження: якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, протилежний цьому катету, дорівнює 30°.

З теореми Піфагора випливає, що в прямокутному трикутнику будь – який з катетів менший за гіпотенузу.

З теореми Піфагора випливає, що коли з даної точки до прямої проведено перпендикуляр і похилі, то

– будь – яка похила більша від перпендикуляра;

– рівні похилі мають рівні проекції;
– з двох похилих більша та, у якої проекція більша.

Піфагорові трикутники – прямокутні трикутники, довжини сторін яких виражаються цілими числами.

Наприклад, трикутники зі сторонами

5, 12 і 13; 8, 15 і 17; 7, 24 і 25

є піфагоровими.

Єгипетський трикутник – трикутник із сторонами 3, 4, 5.

ЗАДАЧА:

Визначте вид трикутника АВС, якщо

∠ А = 37°, ∠ В = 53°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

∠ С = 180° – (37° + 53°) =

= 180° – 90° = 90°,

тому трикутник АВС – прямокутний.

ЗАДАЧА:

Визначте вид трикутника стороні якого дорівнюють

26 см, 24 см, 10 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки

24² + 10² = 576 + 100 =

= 676 = 26²,

то трикутник прямокутний.

ЗАДАЧА:

Дано: ∆ АВС,

∠ С = 90°,
АС = 3 см,
ВС = 5 см.

Знайти: АВ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

АВ² = АС² + ВС²,

ВІДПОВІДЬ:

ЗАДАЧА:

Дано: ∆ АВС,

∠ С = 90°,
АВ = 10 см,
ВС = 5 см.

Знайти: АС.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

АВ² = АС² + ВС²,

ВІДПОВІДЬ:

ЗАДАЧА:

Знайдіть катет прямокутного трикутника, якщо його іншій катет і гіпотенуза відповідно дорівнюють 1 см, √͞͞͞͞͞17 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ЗАДАЧА:

З точки до прямої проведено дві похилі, довжини проекцій яких на цю пряму дорівнюють 6 см і 15 см. Знайдіть довжини похилих, якщо вони відносяться як 10 : 17.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Намалюємо креслення.
Складемо пропорцію
Нехай АВ = 10х, тоді АС = 17х.

З ∆ АОС (∠ О = 90°),

АО² = АС² – ОС² =

= 289х² – 225.

З ∆ АОВ (∠ О = 90°),

АО² = АВ² – ВО² =

= 100х² – 36.

Звідси:

289х² – 225 = 100х² – 36,

289х² = 289, х² = 1, х = 1.

Отже,

АВ = 10 ∙ 1 = 10 (см),

АС = 17 ∙ 1 = 17 (см).

ЗАДАЧА:

З точки до прямої проведено дві похилих лінії завдовжки 13 см і 15 см. Знайдіть відстань від цієї точки до прямої, якщо різниця цих проекцій похилих на пряму дорівнює 4 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Намалюємо креслення.
КС – ВК = 4 см.

Нехай ВК = х,

тоді КС = х + 4.

З ∆ АКВ (∠ К = 90°),

АК² = АС² – КС² =

= 225 – (х + 4)².

Звідки:

169 – х² = 225 – х² – 8х – 16,

8х = 40, х = 5 (см)

Отже, ВК = 5 см,
Завдання до уроку 8

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

среда, 24 сентября 2014 г.