Урок 14. Трикутник і коло.

суббота, 18 октября 2014 г.

Урок 14. Трикутник і коло.

ВІДЕОУРОК

Описане коло різностороннього трикутника.

Окружність називається описаною біля трикутника, якщо вона проходить через усі вершини цього трикутника.

На малюнку зображено коло, описане біля трикутника.

У цьому випадку також кажуть, що трикутник вписаний у коло. Центр описаного кола трикутника рівновіддалений від усіх його вершин.

На малюнку точка О – центр кола, описаного біля трикутника АВС, тому

ОА = ОВ = ОС.

У гострокутного трикутника центр описаного кола лежить усередині трикутника.

У тупокутного трикутника центр описаного кола лежить поза трикутником.

Біля будь-якого трикутника можна описати коло, і до того ж лише одну.

Серединний перпендикуляр до відрізка – пряма, що проходить через середину відрізка та перпендикулярна до нього.

Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка. Кожна точка, рівновіддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі до нього.

Три серединні перпендикуляри сторін трикутника перетинаються в одній точці.

Центр кола, описаного біля трикутника, це точка перетину серединних перпендикулярів його сторін.

Через якісь три точки, які не лежать на одній прямій, можна провести коло і лише одну.

Радіус описаного навколо трикутника кола обчислюється за такою формулою:

ЗАДАЧА:

Кут С трикутника АВС, вписаного в коло радіуса 47, дорівнює 30°. Знайдіть бік АВ цього трикутника.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Зробимо додаткову побудову. Накреслимо трикутник АОВ у якого вершина О збігається із центром кола.
Трикутник АОВ – рівносторонній, так як центральний кут АОВ дорівнює 60° (він також відповідний для вписаного кута, рівного 30°) і тоді

АО = ОВ = АВ, а

АО і ОВ – радіуси, отже АВ = 47.

Вписане коло різностороннього трикутника.

Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно стосується всіх трьох сторін трикутника.

На малюнку зображено коло, вписане в трикутник.

У цьому випадку також кажуть, що трикутник описаний біля кола.

Точка О – центр вписаного кола трикутника АВС, відрізки

ОМ, ОN, ОР – радіуси, проведені в точки торкання,

ОМ ⊥ АВ, ОN ⊥ ВС, ОР ⊥ АС.

Оскільки ОМ = ОN = ОР, то центр вписаного кола трикутника рівновіддалений від усіх його сторін.

У будь-який трикутник можна вписати коло, і лише одно.

Центр кола, вписаного в трикутник, лежить у внутрішній області цього трикутника.

Центр кола, вписаного в трикутник, – це точка перетину його бісектрис.

У кожному трикутнику всі три бісектриси перетинаються в одній точці.

Радіус вписаного в трикутник кола обчислюється за формулою:

ЗАДАЧА:

До кола, вписаного в трикутник АВС, проведені три дотичні, паралельні сторонам трикутника. Периметри відсічених трикутників дорівнюють 5, 6 і 7. Знайдіть периметр трикутника АВС.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Розглянемо малюнок. Нехай А₁, В₁, С₁– точки дотику сторін ∆ АВС з колом. А', В', С' – точки на кола, через які проведені дотичні паралельно сторонам трикутника. Вийшли трикутники

AMN, BLK, CPR.

Нехай

P_AMN = 5, P_BLK= 6, P_CPR = 7.

Оскільки відрізки дотичних, проведених з однієї точки до кола, рівні, то

МА' = МС₁, NА' = NВ₁.

Отже

P_AMN = AM + МА' + NА' + AN =

AM +М С₁ + NВ₁ + AN = АС₁ + АВ₁ = 5.

Аналогічно для інших трикутників:

P_BLK= ВС₁ + ВА₁ = 6

P_CPR = СА₁ + СВ₁ = 7

Отже,

P_AВС = (АС₁ + АВ₁) + (ВС₁ + ВА₁) + (СА₁ + СВ₁)

= 5 + 6 + 7 = 18.

Завдання до уроку 14

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

суббота, 18 октября 2014 г.