Урок 29. Чотирикутник і коло (2)

пятница, 12 декабря 2014 г.

Урок 29. Чотирикутник і коло (2)

ВІДЕОУРОК
Ромб та коло.

У будь – який ромб можна вписати коло.
Центр кола, вписаного в ромб, перебуває на перетині його діагоналей.
Радіус, вписаний у ромб кола, дорівнює половині його висоті.

Радіус вписаного в ромб кола дорівнює половині твору сторони ромба на синус його кута.
Радіус вписаного в ромб кола можна знайти, якщо розділити площу цього ромба на подвоєну сторону.
Радіус вписаної в ромб кола можна знайти, знаючи площу цього ромба та синус кута.
Радіус вписаного в ромб кола дорівнює твору його діагоналей, поділеному на бік ромба, помноженого на чотири.
Радіус кола, вписаного в ромб, дорівнює квадратному кореню з добутку довжин відрізків, на які радіус ділить сторону.
Формула радіусу вписаного кола в ромб через діагоналі.
Формула радіуса вписаного кола в ромб через діагональ та кут.
Таблиця формул, для знаходження радіусу вписаного кола в ромб.
ЗАДАЧА:

У ромб вписано коло, радіус якого 5 см. Знайдіть висоту ромба.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Оскільки в ромбі радіус вписаного кола дорівнює половині висоти ромба, то висота буде вдвічі більшою.

h = 2r = 2 ∙ 5 = 10 (см).

ЗАДАЧА:

Дано ромб АВСD. Окружність, описана біля трикутника АВD, перетинає велику діагональ ромба АС у точці Е. Знайдіть СЕ, якщо

АВ = 8√͞͞͞͞͞5, ВD = 16.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

∆ АОВ – прямокутний:

По теоремі про відрізки хорд, що перетинаються:

BO∙ OD = AO∙ OE,

8 ∙ 8 = 16∙ OE.

OE = 4,

CE = 16 – 4 = 12.

ВІДПОВІДЬ: 12

ЗАДАЧА:

Знайти довжину кола l, вписаного в ромб, діагоналі якого дорівнюють 15 см і 20 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дано ромб, знаємо, що в ромб можна вписати коло, так як сума протилежних сторін рівна, а також в ромба діагоналі перпендикулярні і становлять 15 см і 20 см за умовою. Зробимо малюнок.

Довжина кола шукається за формулою:

l = 2πR.

У нас невідомий радіус. Одним з радіусів вписаного кола є ОМ. Розглянемо трикутник АОВ. Він прямокутний. Наша задача зводиться до відшукання відрізка ОМ, яка є висотою в цьому трикутнику. Оскільки ромб – це паралелограм, значить, к нього теж діагоналі в точці перетину діляться пополам, отже

ОB = 7,5 см, а AO = 10 см.

Далі думаємо як пов'язати радіус є відомими величинами.

Знайдемо сторону ромба:

Позначимо МВ = х, тоді

АМ = (12,5 – х),

Знайдемо ОМ (радіус кола) з трикутника АОМ, а також з трикутника ОМВ. Прирівняємо їх і знайдемо х.

100 – 156,25 + 25х – х² = 56,25 – х²,

25х = 56,25 + 56,25,

25х = 112,5, х = 4,5,

Оскільки катет прямокутного трикутника є середнє пропорційне між гіпотенузою і відрізком гіпотенузи, ув'язненим між катетом і заввишки, проведеною з вершини прямого кута, то отримаємо:

Тоді довжина кола буде рівна

2πR = 2×6π = 12π (см).

ВІДПОВІДЬ: 12π см

Окружність та трапеція.

Навколо кожної рівнобічної трапеції можна описати коло.

У трапецію можна вписати коло, коли сума її основ дорівнює сумі бічних сторін.

Висота рівнобічної трапеції, у яку можна вписати коло, є середнім геометричним між її основами.

Якщо у рівнобічну трапецію вписано коло, то її бічна сторона дорівнює середній лінії:

ЗАДАЧА:

Точка дотику кола, вписаного в прямокутну трапецію, ділить її меншу основу на відрізки 6 см і 3 см, рахуючи від вершини прямого кута. Обчислити периметр трапеції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай ABCD дана трапеція, BC і AD паралельні, AB і AD перпендикулярні, точки M, N, K, E – точки дотику вписаного кола зі сторонами трапеції, BK = 6 см, CK = 3 см, точка О – центр вписаного кола,

ОК = ON = OM = OE = r.

У чотирикутнику BKON кути по 90º, отже він прямокутник.

За властивістю, дотичних проведених до кола через одну точку,

BN = BK = 6 см,
KC = EC = 3 см.

Тоді BKON квадрат,

ON = OK = OE =
OM = BK = 6 см,

AB = 12 см, BC = 9 см.

В трикутнику COD,

OE² = CE × ED,

ED = 36 : 3 = 12 см.

CD = CE + ED =

3 + 12 = 15 см,

AD = 6 + 12 = 18 см.

Отже

P = AB + BC + CD + AD
= 12 + 9 + 15 + 18 = 54 см.

ВІДПОВІДЬ: 54 см.

ЗАДАЧА:

Знайти діагональ і бічну сторону рівнобічної трапеції с основами 12 см і 20 см, якщо центр описаного кола лежить на більшій основі.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай ABCD вписана в коло трапеція, точка О – центр описаного кола,

BC = 12 см, AD = 20 см.

Проведемо CK перпендикуляр до AD.

CK = (20 – 12) : 2 = 4 см.

AK = 20 – 4 = 16 см.

Розглянемо трикутник ACD,

CK² = AK × KD =
16 × 4 = 64,

CK = 8 см;

AC² = AK² + CK²
= 256 + 64 = 320,

AC = 8√͞͞͞͞͞5 см.

AВ² = СD² = 64 + 16 = 80,

AC = 8√͞͞͞͞͞5 см.

AB = CD = 4√͞͞͞͞͞5 см.

ВІДПОВІДЬ:

AC = 8√͞͞͞͞͞5 см.

AB = CD = 4√͞͞͞͞͞5 см.

ЗАДАЧА:

У прямокутній трапеції точка дотику вписаного у неї кола ділить більшу основу на відрізки 12 см і 16 см, починаючи від вершини прямого кута. Знайдіть меншу основу трапеції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай ABCD трапеція описана навколо кола, точка К – точка дотику,

AK = 12 см, KD = 16 см.

AK = OK = OE = r = 12 см,

KD = ED = 16 см.

Нехай ABCD трапеція описана навколо кола, точка К – точка дотику,

AK = 12 см, KD = 16 см.

AK = OK = OE = r = 12 см,

KD = ED = 16 см.

В трикутнику COD,

OE² = CE × ED, CE

= 12² : 16 = 9 см.

ВІДПОВІДЬ: 9 см

ЗАДАЧА:

Кінці діаметру кола віддалені від його дотичної відповідно на 9 см і 5 см. Знайдіть діаметр цього кола.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай нам дано коло з центром в точці О і діаметром АВ. Проведемо дотичну l і побудуємо відстані

АD = 9 см і ВС = 5 см.

Проведемо радіус ОН.

Оскільки AD і BC – відстані до дотичної, то AD ⊥ l і BC ⊥ l і оскільки ОН – радіус, то OH ⊥ l, отже,

OH ∥ AD ∥ BC.

З цього всього отримуємо, що ABCD – трапеція, а ОН – її середня лінія. Тоді:

Значить

d = 2OH = 2 × 7 = 14 см.

ВІДПОВІДЬ: 14 см.

ЗАДАЧА:

Точка дотику кола, вписану у прямокутну трапецію, ділить її більшу основу на відрізки завдовжки 2 см і 4 см. Обчисліть периметр трапеції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай

ABCD (АD ∥ ВС, АВ ⊥ АD) –

прямокутна трапеція,
К, М, N, Р – точки дотику вписаного кола до відповідних сторін трапеції.

АР = 2 см, РD = 4 см.

О – центр вписаного кола. За властивістю дотичних, проведених з однієї точки, одержимо:

АР = АК = 2 см,

ND = РD = 4 см,

ОР ⊥ АD, тому АКОР – квадрат.

ОР = ОМ, тому КВМР = АКРО,

звідки

ВК = ВМ = АР = 2 см.

Уведемо позначення: СМ = х см. За властивість дотичних, проведених з однієї точки, одержимо:

СМ = СN = х см.

Побудуємо висоту СL трапеції й отримаємо:

LD = РD – РL = (4 – х) см.

Розглянемо прямокутний трикутние СLD (∠ L = 90°):

СD = ND + СN =

= (4 + х) см,

СL = 4 см.

За теоремою Піфагора маємо:

CD² – LD² = CL²,

(4 + x)² – (4 – x)² = 4²,

4² + 8x + x² – 4² + 8x – x² = 16,

16x = 16, x = 1.

Далі маємо:

СD = 4 + 1 = 5 (см),

ВС = 2 + 1 = 3 (см),

АВ = 2 + 2 = 4 (см),

АD = 4 + 2 = 6 (см).

Р = СD + AD + AB + BC =

= 5 + 6 + 4 + 3 = 18 (см).

ЗАДАЧА:

Коло, вписане в прямокутну трапецію, ділить точкою дотику бічну сторону на відрізки завдовжки 8 см і 50 см. Знайдіть периметр даної трапеції, якщо радіус вписаного кола дорівнює 20 см.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За властивістю дотичних

ВN = ВK = R,

АN = АF = R,

КС = СР = 8 см,

DР = DF = 50 см.

Отже,

Р = 4R + 2(8 + 50) = 4R + 116.

∆СОD (∠ О = 90°).

Повторюємо метричні співвідношення в прямокутному трикутнику.

Квадрат висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи, дорівнює добутку проекцій катетів на гіпотенузу.

OP² = CP∙ PD,

OP² = R²= 8 ∙ 50 = 400 (см),

R = 20 (см).

Тоді

Р = 4 ∙ 20 + 116 = 196 (см).

ВІДПОВІДЬ: 196 см

Завдання до уроку 29

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 12 декабря 2014 г.