Урок 16. Рівнобедрений трікутнік і коло

пятница, 28 ноября 2014 г.

Урок 16. Рівнобедрений трікутнік і коло

ВІДЕОУРОК

Описане коло рівнобедреного трикутника.

Для того, щоб знайти радіус описаного кола рівнобедреного трикутника, можна скористатися наступною формулою:

ЗАДАЧА:

Основа рівнобедреного тупокутного трикутника дорівнює 18 см, а радіус описаного навколо нього кола – 15 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

У чотирикутнику АОВС

АО = ВО = СО = 15 см

як радіуси описаного кола.

У рівнобедреному трикутнику АВС АС = ВС, основа АВ = 18 см.

Висота СD лежить на серединному перпендикулярі до основи АВ, тому

АD = ВD = 0,5АВ
= 0,5 × 18 = 9 см.

З трикутника ОВD за наслідком з теореми Піфагора:

СD = СО – DО =
= 15 – 12 = 3 (см).

З трикутника СDВ за теоремою Піфагора:

ВІДПОВІДЬ: 3√͞͞͞͞͞10 см

ЗАДАЧА:

Висота рівнобедреного тупокутного трикутника, проведена до його основи, дорівнює 8 см, а радіус описаного навколо нього кола – 13 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

ОА = ОВ = ОС = R = 13 см.

ОН = 13 – 8 = 5 (см).
Вписане коло рівнобедреного трикутника.

Для того, щоб знайти радіус вписаного кола рівнобедреного трикутника, можна скористатися наступною формулою:

Радіус вписаного в рівнобедрений трикутник кола, виражений через бічну сторону та висоту, опущену на основу, виражається такою формулою:

ЗАДАЧА:

Висота рівнобедреного трикутника дорівнює 18 см, а радіус вписаного в нього кола – 8 см. Знайдіть периметр даного трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У трикутнику АВС:

АВ = ВС,

ВD – висота,

ВD = 18 см,

точка О – центр вписаного кола.
Оскільки ∆ АВС – рівнобедрений, то точка О належить його висоті і бісектрисі ВD, а відрізок ОD – радіус вписаного кола,

ОD = 8 см. Тоді

ВО = ВD – ОD = 10 см.

Центром кола, вписаного в трикутник, є точка перетину бісектрис трикутника. Тоді відрізок АО – бісектриса трикутника АDВ. За властивістю бісектриси трикутника
Нехай АВ = 5х см, х ˃ 0,

тоді АD = 4х см.

З ∆ АDВ (∠ АDВ = 90°):

АВ² – АD² = ВD²_,

25х² – 16х² = 18²,

9х² = 324, х = 6.

Отже,

АВ = 30 см, АD = 24 см,

АС = 2АD = 48 см.

Тоді

Р = 2АВ + АС = 108 см

Радіус вписаного та описаного кола для рівностороннього трикутника виражається такими формулами:

У рівностороннього трикутника центри вписаного та описаного кола, центр тяжіння та ортоцентр збігаються, а сума радіусів описаного та вписаного кола дорівнює висоті.

ЗАДАЧА:

Чому дорівнює радіус кола, вписаного в правильний трикутник зі стороною 12 см ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки трикутник АВС – рівносторонній, у якому ВD є бісектрисою, висотою та медіаною, то кут DВС дорівнюватиме 30°.

Трикутник ВDС – прямокутний у якому проти кута в 30° знаходиться катет, що дорівнює половині гіпотенузи. Отже

DС = 6 см.

По теоремі Піфагора знаходимо ВD.
Тоді

r = ¹/₃ВD =

= ¹/₃∙ 6√͞͞͞͞͞3 = 2√͞͞͞͞͞3 (см).

ЗАДАЧА:

Визначити відношення радіусу вписаного в рівносторонній трикутник кола до радіусу описаного кола

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У рівносторонньому ∆ АВС його три медіани, бісектриси і висоти співпадають і перетинаються в одній точці – центрі трикутника. Радіусом описаного кола буде відрізок, що сполучає центр O c однією з вершин трикутника, а вписаною – апофема ОD.

Але оскільки АO ще і бісектриса, то

∠ ОАD = 30°,

а ∆ АOD – прямокутний, отже

ЗАДАЧА:

Коло дотикається до одного з катетів рівнобедреного прямокутного трикутника і проходить через вершину протилежного гострого кута. Знайдіть радіус кола, якщо його центр належить гіпотенузі трикутника, а катет трикутника дорівнює 10 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай АВС – заданий прямокутний трикутник (∠ А = 90°),

АВ = АС = 10 см.
О ∈ ВС – центр кола, яке проходить через точку С.

Е – точка дотику кола до катета АВ.

У трикутнику АВС

∠ В = ∠ С = 45° і

АВ = АС = 10 (см).

Нехай ОС = ОЕ = х (см).

З трикутника

ОЕВ (∠ Е = 90°, ∠ В = 45°)

ОВ = √͞͞͞͞͞2 ∙ ОЕ = √͞͞͞͞͞2 х (см).

Оскільки ВС = ОВ + ОС,

то маємо: 10√͞͞͞͞͞2 = √͞͞͞͞͞2 х + х, звідки
ВІДПОВІДЬ: 10(2 – √͞͞͞͞͞2) см

Завдання до уроку 16

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

пятница, 28 ноября 2014 г.