ВІДЕОУРОК
с – гіпотенуза трикутника.
с – гіпотенуза трикутника.
Точка
дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, ділить один з катетів на
відрізки 2
см і
8
см, рахуючи від вершини
прямого кута. Знайдіть периметр трикутника.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
(2 + х)2 + (2 + 8)2 =
(8 + х)2,
х2 + 4х + 4
+ 100 =
= х2 + 16х + 64,
12х = 40,
х =
10/3
(см).
Р
= (2 + 8) + (8 + 10/3) + (10/3 + 2) = 262/3 (см).
ЗАДАЧА:
АК = 4 см, ВК = 6 см.
За властивістю дотичних маємо:
ВК = ВN = 6 см.
ВС = (6 + х) см,
ЗАДАЧА:
Вписане
коло прямокутного трикутника АВС
дотикається до гіпотенузи АВ
у точці К. Знайдіть радіус вписаного кола,
якщо
АК = 4 см,
ВК
= 6 см.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
А N = АК = 4 см,
ВМ = ВК = 6 см.
Розглянемо
прямокутний трикутник АВС. У ньому:
АВ
= 4 + 6 = 10 (см),
АС
= (4 + х) см,
ВС
= (6 + х) см.
За
теоремою Піфагора маємо:
АС2 + ВС2
= АВ2,
(4 + х)2 + (6 + х)2 = 102,
2х2 + 20х + 52
= 100,
х2 + 10х –
24 = 0,
х1 = –12 – не підходить,
х2 = 2.
Отже,
радіус кола дорівнює 2 см.
ВІДПОВІДЬ: 2
см
ЗАДАЧА:
Точка
дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, ділить гіпотенузу на
відрізки 8
см і
12
см. Знайдіть периметр
трикутника.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
400 = 64 + 16x + x2 + x2 + 24x +
144,
2x2 + 40x – 192 = 0,
x2
+ 20x – 96 = 0,
x1
= 4, x2
= –24.
x2 не підходить.
Р
= 8 + 12 + 12 + 4 + 4 + 8 = 48 (см).
ВІДПОВІДЬ: 48 см.
Описане
коло прямокутного трикутника.
Медіана прямокутного трикутника, проведена до його гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи і є радіусом кола, описаного біля цього трикутника.ОА = ОВ = ОС = RРадіус описаного кола дорівнює половині гіпотенузи:ЗАДАЧА:
Яка
величина кута АСВ ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ВС – діаметр, тому ∠ ВАС = 90°,
∠ АСВ
= 180° – (90° + 55°) = 35°.
ЗАДАЧА:
Перпендикуляр, опущений з точки
кола на його діаметр, ділить діаметр на відрізки, різниця яких дорівнює 5
см.
Знайдіть радіус кола, якщо довжина перпендикуляра дорівнює 6 см.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
СD
= 6 см, АD
= х см,
ВD
– АD = 5 см.
Тоді DВ
= (х + 5) см. Трикутник
АСВ – прямокутний (кут С прямий, бо він вписаний і спирається на
діаметр).
СD –
перпендикуляр, проведений з вершини прямого кута на гіпотенузу. Тоді:
АD
∙ DВ = СD2,
х(х + 5) = 62,
х2
+ 5х – 36 = 0,
x1
= –9, x2 = 4.
x1 не підходить.
Отже, АD
= 4 см,
DВ = 4 + 5 = 9 (см).
АВ
= АD + DВ =
=
4
+ 9 = 13 (см).
Тоді
r
= АВ : 2 = 13 : 2 = 6,5 (см).
ВІДПОВІДЬ: 6,5
см
ЗАДАЧА:
З
точки на колі проведено дві перпендикулярні хорди, різниця яких дорівнює 4
см. Знайдіть ці хорди, якщо радіус кола дорівнює 10
см.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
R
=
АО = ВО = СО = 10 см,
АС – АВ =
4
см.
Нехай АВ = х см, тоді
АС = (4
+ х) см.
Оскільки ∠ А = 90°, то трикутник ВАС
– прямокутний, у якому
ВС = 2ОВ= 2 ∙
10 = 20 см.
З
прямокутного трикутника ВАС
маємо:
АВ2 + АС2
= ВС2,
х2 + (4 + х)2
= 202,
х2 + 16 + 8х
+ х2 = 400,
х2 + 4х –
192 = 0,
х1 = 12, х2
= –16 – не підходить.
Отже, АВ = 12 см,
АС
= 4 + 12 = 16 (см).
ВІДПОВІДЬ: 12
см, 16 см
ЗАДАЧА:
Кут
між бісектрисою та медіаною прямокутного трикутника, проведеними з вершини
прямого кута, дорівнює 14°. Знайдіть
менший кут цього трикутника.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
АМ = МС = МВ = R,
де R
– радіус описаного кола.
Знайдемо
спочатку кут МВС. Враховуючи, що BD
– бісектриса, то
∠
DВС =
90/2
=
45°. Тоді
∠ МВС
= ∠ МВD + ∠ DВС,
∠ МВС
= 14° + 45° = 59°.
Розглянемо рівнобедрений трикутник МВС зі сторонами
МВ
= МС,
в якому кути при основі ВС рівні, тобто
∠ С
= ∠ МВС
= 59°.
Оскільки сума гострих кутів у
прямокутному трикутнику дорівнює 90°, то
∠ А
+ ∠ С
= 90°,
∠ А
=
90° – ∠ С
=
=
90° – 59° = 31°.
AB = x + 6, AC = y + 6,
BC = x + y.
x + 6 + y + 6 + x + y = 72.
У
колі на відстані 6 см
від його центра проведено хорду завдовжки 16
см. Чому дорівнює радіус кола ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ВК ⊥ АD, АК = 9 – 4 = 5 см.
ЗАДАЧА:
У
кут, величина якого становить 60°, вписано два кола, які зовнішньо
дотикаються одно до одного. Знайдіть радіус більшого з них, якщо радіус меншого
дорівнює 6
см.
ОС = 2СА = 12 см,
∆ ОDВ:
ОD = 2DВ = 2R,
12 + 6 + R = 2R,
R + 18 = 2R,
R = 18 см.
ЗАДАЧА:
ВМ ˃ МС і
З
прямокутного трикутника АВС (∠ С = 90°) маємо:
АВ2 = АС2 + ВС2,
(10х)2 = (6х)2+
(10 + 6)2,
64х2 = 162, х = 2 (см),
АС = 6х = 12 (см).
З
прямокутного трикутника АСМ (∠ С = 90°) маємо:
АМ2 = АС2
+ СМ2,
122 + 62,
АМ = 6√͞͞͞͞͞5 (см).
Коло,
яке проходіть через точки А, М і С,
є описаним колом навколо прямокутного трикутника АСМ.
Тоді його діаметр дорівнює гіпотенузі трикутника. Отже,
r =
1/2
АМ = 3√͞͞͞͞͞5 (см).
ЗАДАЧА:
У колі по різні боки від його
центра проведено дві паралельні хорди, довжина яких дорівнює 6 см і 8 см, а відстань між ними – 4 см. Знайдіть радіус кола.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
АВ
= 6 см, СD
= 8 см.
Через точку О
проведемо
FЕ
⊥
АВ.
АЕ
= ВЕ = 3 см,
FЕ
⊥
СD,
СF
= FD = 4 см,
ЕF
= 4 см.
Трикутники ОВЕ і ОDF
прямокутні, до того ж
ОВ
= ОD = r.
Нехай ОF
= х
см, тоді ОЕ
= ЕF – х = (4
– х) см. З прямокутного трикутника ОЕВ за теоремою Піфагора
ОВ2 = ОЕ2 + ВЕ2,
r2 = (4 – х)2 + 32.
Аналогічно
ОD2 = ОF2 + FD2,
r2 = х2 + 42.
(4 – х)2 + 32
= х2 + 42.
16 – 8х + х2 + 9 = х2 + 16,
- Урок 1. Точка і пряма
- Урок 2. Кут
- Урок 3. Паралельні і перпендикулярні прямі
- Урок 4. Коло
- Урок 5. Кут і коло
- Урок 6. Трикутник (1)
- Урок 7. Трикутник (2)
- Урок 8. Прямокутній трикутник (1)
- Урок 9. Прямокутній трикутник (2)
- Урок 10. Рівнобедрений (рівносторонній) трикутник (1)
- Урок 11. Рівнобедрений (рівносторонній) трикутник (2)
- Урок 12. Периметр трикутника.
- Урок 13. Периметр рівнобедреного трикутника
- Урок 14. Трикутник і коло
- Урок 16. Рівнобедрений трикутник і коло
- Урок 17. Чотирикутники
- Урок 18. Паралелограм
- Урок 19. Периметр паралелограма
- Урок 20. Прямокутник
- Урок 21. Периметр прямокутника
- Урок 22. Квадрат
- Урок 23. Ромб
- Урок 24. Периметр ромба
- Урок 25. Трапеція
- Урок 26. Рівнобічна трапеція
- Урок 27. Периметр трапеції
- Урок 28. Чотирикутник і коло (1)
- Урок 29. Чотирикутник і коло (2)
- Урок 30. Многокутник
- Урок 31. Правильний многокутник
- Урок 32. Осьова і центральна симетрії
Комментариев нет:
Отправить комментарий