Висотою прямокутного трикутника називається перпендикуляр,
опущений із вершини трикутника на протилежну сторону.
У прямокутному трикутнику висоти, опущені з вершин
гострих кутів, збігаються з катетами трикутника, а висота, опущена з вершини
прямого кута на гіпотенузу, ділить трикутник на два трикутники, подібні до
вихідного і подібних один одному.
АК2 = ВК ∙ КС.
де ВК и КС
– проекції катетів на гіпотенузу.
Відрізок XY є середнє пропорційне між відрізками АВ і СD, якщо
ЗАДАЧА:
У трикутнику АВС:
∠ С = 90°,
∠ А = 30°,
АВ
= 2√͞͞͞͞͞3.
Знайдіть висоту СН.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ВС
= 0,5АВ = √͞͞͞͞͞3.
Знайдемо катет АС у трикутнику АВС, користуючись теоремою
Піфагора:
АВ2
= АС2 + ВС2,
АС2
= АВ2 – ВС2 =
= (2√͞͞͞͞͞3)2
– (√͞͞͞͞͞3)2
=
=12 – 3 = 9, АС = 3.
У трикутнику АНС:
АС – гіпотенуза, СН – катет, що лежить проти кута 30°, значить
НС
= 3 : 2 = 1,5.
ЗАДАЧА:
У трикутнику АВС:
∠ С = 90°,
∠ А = 30°,
СН
– висота.
Знайдіть АН, якщо
АВ = 2.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ВС
= 0,5АВ = 1.
НС
= 0,5АС = √͞͞͞͞͞3
: 2.
У трикутнику АВС:
∠ С = 90°,
∠ А = 30°,
СН
– висота.
Знайдіть ВН, якщо
АВ = 4.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ВС
= 0,5АВ = 2.
Кут ВСН дорівнює 30° (90°
– 60°),
отже ВН = 0,5ВС = 1.
ЗАДАЧА:
У прямокутному трикутнику
АВС висота АК ділить
гіпотенузу на відрізки
ВК
= 3 см,
КС
= 2 см.
Знайдіть
катети трикутника.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Знайдемо квадрат довжини висоти АК, користуючись формулою
АК2
= ВК ∙
КС
= 3 ∙ 2 = 6.
– медіани в прямокутному
трикутнику перетинаються в одній точці, а точка перетину ділить їх у
співвідношенні два до одного рахуючи від вершини, з якої проведена медіана;
a, b – катети
прямокутного трикутника;
с – гіпотенуза
прямокутного трикутника.
Якщо позначити
трикутник як АВС, то
ВС
= а, АС = b, АВ
= с
(тобто сторони а,
b, с
– є протилежними відповідним кутам).
та – медіана, проведена
до катета а;
тb – медіана, проведена
до катета b;
тс – медіана, проведена
до гіпотенузи с;
α (альфа) – кут САВ, що проти лежить стороні а.
ЗАДАЧА:
Дві сторони трикутника дорівнюють 6
см і 8 см. Медіани, проведені до цих сторін,
перетинаються під прямим кутом. Знайдіть третю сторону трикутника.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
АN
= х см.
ВМ = у см.
Тоді
АО
= 2/3 х,
NО = 1/3 у,
ВО
= 2/3 х,
МО = 1/3 у.
АМ2
= ОМ2 + ОА2,
х2
+ у2 = 45.
АВ2
= ВО2 + ОА2 =
= 4/9
(х2 + у2) = 20, то
АВ
= √͞͞͞͞͞20
= 2√͞͞͞͞͞5
см.
ЗАДАЧА:
У
трикутнику АВС:
АВ = √͞͞͞͞͞41, ВС = 13,
ВН –
висота, опущена на бік АС,
ВН
=
5.
Знайдіть
довжину медіани АМ.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
МD = 1/2 ВН
= 5/2,
НD = DС = 1/2 НС = 6.
Тоді
у прямокутному трикутнику АМD
∠ АDМ
= 90°,
АD = АН + НD =
= 4 + 6 = 10,
МD = 5/2.
У
прямокутному трикутнику медіани, проведені до катетів, рівні √͞͞͞͞͞52 і √͞͞͞͞͞73.
Знайдіть довжину гіпотенузи.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
АК = √͞͞͞͞͞52,
ВМ = √͞͞͞͞͞73,
х – половина довжини
сторони АС,
у – половина довжини
сторони ВС. Тоді з прямокутних
трикутників АСК і ВСМ маємо:
АК2 = АС2 + СК2,
ВМ2 = МС2 + ВС2
5(х2 + у2) = 125,
х2 + у2 = 25,
АК2 = 4(х2 + у2).
АВ = 10.
ЗАДАЧА:
Медіани
СМ та ВN прямокутного трикутника АВС (∠
С = 90°), перпендикулярні.
Знайдіть катети, якщо гіпотенуза дорівнює
с.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
Нехай
NО = х,
Тоді
ВО = 2/3
х, МО = с/6.
Бісектрисою
прямокутного трикутника називають відрізок бісектриси кута трикутника, який
з'єднує його вершину з точкою на протилежній стороні трикутника.
Бісектриса прямокутного
трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, відповідно пропорційні двом
іншим сторонам.
Бісектриса
прямого кута прямокутного трикутника утворює з гіпотенузою кути, один з яких
дорівнює 70°.
Знайдіть гострі кути цього трикутника.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
∠ DCB = 180° – 70° – 45° = 65°,
∠ ADB = 180° – 70° = 110°,
∠ CAB = 180° – 110° – 45° = 25°.
ЗАДАЧА:
Бісектриса
прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки 15
см і 20
см. Знайдіть довжини відрізків гіпотенузи, на які її поділяє висота трикутника.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
СВ : АС = 15
: 20.
Нехай
коефіцієнт цього відношення буде х. Тоді
АС = 20х, ВС = 15х,
АВ = 20 + 15 = 35.
За
теоремою Піфагора:
АС2
+ ВС2 = АВ2,
400х2 + 225х2 = 1225.
х
= √͞͞͞͞͞1,96 = 1,4,
АС = 20 ∙ 1,4 = 28,
ВС = 15 ∙ 1,4 = 21.
441
= 35 ∙ ВН,
ВН = 12,6,
АН = 35 – 12,6 = 22,4.
ЗАДАЧА:
Кут
між бісектрисою та медіаною прямокутного трикутника, проведеними з вершини
прямого кута, дорівнює 14°.
Знайдіть менший кут цього трикутника.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
∠ ВАС = 45° – α,
∠ ВСА = 45° + α,
∠ α
=
∠ МВD = 14°,
то
менший кут трикутника ВАС дорівнюватиме:
- Урок 1. Точка і пряма
- Урок 2. Кут
- Урок 3. Паралельні і перпендикулярні прямі
- Урок 4. Коло
- Урок 5. Кут і коло
- Урок 6. Трикутник (1)
- Урок 7. Трикутник (2)
- Урок 8. Прямокутній трикутник (1)
- Урок 10. Рівнобедрений (рівносторонній) трикутник (1)
- Урок 11. Рівнобедрений (рівносторонній) трикутник (2)
- Урок 12. Периметр трикутника.
- Урок 13. Периметр рівнобедреного трикутника
- Урок 14. Трикутник і коло
- Урок 15. Прямокутний трикутник і коло
- Урок 16. Рівнобедрений трикутник і коло
- Урок 17. Чотирикутники
- Урок 18. Паралелограм
- Урок 19. Периметр паралелограма
- Урок 20. Прямокутник
- Урок 21. Периметр прямокутника
- Урок 22. Квадрат
- Урок 23. Ромб
- Урок 24. Периметр ромба
- Урок 25. Трапеція
- Урок 26. Рівнобічна трапеція
- Урок 27. Периметр трапеції
- Урок 28. Чотирикутник і коло (1)
- Урок 29. Чотирикутник і коло (2)
- Урок 30. Многокутник
- Урок 31. Правильний многокутник
- Урок 32. Осьова і центральна симетрії
Добрый день, уважаемый автор этого сайта. У меня нет слов, чтобы выразить свою благодарность за ВАШ титанический труд!!! Ничего подобного не встречала. Кратко, четко, понятным языком. И НА ДВУХ ЯЗЫКАХ СРАЗУ!!! Низкий вам поклон и от учителей, родителей и учеников.
ОтветитьУдалитьСпасибо большое, такие комментарии ещё больше вдохновляют на продолжение работы с сайтом, а работа с ним бесконечна
ОтветитьУдалить