четверг, 25 сентября 2014 г.

Урок 9. Прямокутній трикутник (2).

ВІДЕОУРОК
Висота прямокутного трикутника.

Висотою прямокутного трикутника називається перпендикуляр, опущений із вершини трикутника на протилежну сторону.

У прямокутному трикутнику висоти, опущені з вершин гострих кутів, збігаються з катетами трикутника, а висота, опущена з вершини прямого кута на гіпотенузу, ділить трикутник на два трикутники, подібні до вихідного і подібних один одному.

Довжина висоти трикутника  АВС
проведеної до гіпотенузи  ВС  знаходиться за формулою:

АК2 = ВК ∙ КС.

де  ВК  и  КС – проекції катетів на гіпотенузу.

У прямокутному трикутнику висота, опущена з вершини прямого кута на гіпотенузу, поділяє гіпотенузу в такому відношенні, як знаходяться квадрати прилеглих катетів:
У прямокутному трикутнику висота, проведена з прямого кута, дорівнює добутку катетів, поділеному на гіпотенузу.
Кожен катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою і відрізком гіпотенузи, укладеним між катетом і висотою, проведеною з вершини прямого кута.
Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між відрізками, на які ділиться гіпотенуза цією висотою.
Висоти  ha  і  hb  збігаються з катетами  та  a.
Відрізок  XY  є середнє пропорційне між відрізками  АВ  і  СD, якщо

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС: 

С = 90°,

А = 30°

АВ = 2√͞͞͞͞͞3.

Знайдіть висоту  СН.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Так як катет, що лежить проти кута  30°, дорівнює половині гіпотенузи, то

ВС = 0,5АВ = √͞͞͞͞͞3.

Знайдемо катет  АС  у трикутнику  АВС, користуючись теоремою Піфагора:

АВ2 = АС2 + ВС2,

АС2 = АВ2ВС2 =

= (2√͞͞͞͞͞3)2 – (√͞͞͞͞͞3)2 =

 =12 – 3 = 9, АС = 3.

У трикутнику  АНС: АС – гіпотенуза, СН – катет, що лежить проти кута  30°, значить

НС = 3 : 2 = 1,5.

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС: 

С = 90°,

А = 30°

СН – висота.

Знайдіть  АН, якщо  АВ = 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Так як катет, що лежить проти кута  30°, дорівнює половині гіпотенузи, то

ВС = 0,5АВ = 1.

Тоді за теоремою Піфагора з трикутника  АВС:
З прямокутного трикутника  АНС:

НС = 0,5АС = √͞͞͞͞͞3 : 2.

Тоді за теоремою Піфагора:
ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС: 

С = 90°,

А = 30°

СН – висота.

Знайдіть  ВН, якщо  АВ = 4.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Так як катет, що лежить проти кута  30°, дорівнює половині гіпотенузи, то

ВС = 0,5АВ = 2.

Кут  ВСН  дорівнює  30° (90° – 60°),

отже  ВН = 0,5ВС = 1.

ЗАДАЧА:

У прямокутному трикутнику  АВС  висота  АК  ділить гіпотенузу на відрізки

ВК = 3 см,

КС = 2 см.

Знайдіть катети трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо квадрат довжини висоти  АК, користуючись формулою

АК2 = ВК КС = 3 2 = 6.

Розглянемо прямокутні трикутники  АКС  та  ВКС, і знайдемо в них сторони  АС  і  АВ.
Медіана прямокутного трикутник.

Медіана – це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Для прямокутного трикутника це будуть медіани, проведені з гострого кута до середин катет або з прямого до центру гіпотенузи.
Властивості медіани у прямокутному трикутнику.

– медіани в прямокутному трикутнику перетинаються в одній точці, а точка перетину ділить їх у співвідношенні два до одного рахуючи від вершини, з якої проведена медіана;

– медіана, проведена з вершини прямого кута до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи;
– медіана, опущена на гіпотенузу прямокутного трикутника, дорівнює радіусу кола, описаного навколо цього прямокутного трикутника;
сума квадратів медіан, опущених на катети прямокутного трикутника, дорівнює п'яти квадратам медіани, опущеної на гіпотенузу;
сума квадратів медіан, опущених на катети прямокутного трикутника, дорівнює п'яти четвертих квадрата гіпотенузи;
медіана, опущена на гіпотенузу, дорівнює половині кореня квадратного із суми квадратів катетів;
медіана, опущена на гіпотенузу, дорівнює частці від розподілу довжини катета на два синуси протилежного катету гострого кута;
медіана, опущена на гіпотенузу, дорівнює частці від розподілу довжини катета на два косинуси гострого кута;
– сума квадратів сторін прямокутного трикутника дорівнює восьми квадратам медіани, опущеної на його гіпотенузу;
– медіана, проведена до катета  а, дорівнює половині кореня квадратного із суми вчетверного квадрата катета  b  і квадрата катета  а;
– медіана, проведена до катета  b, дорівнює половині кореня квадратного із суми вчетверного квадрата катета  а  та квадрата катета  b;
Позначення у формулах.

a, bкатети прямокутного трикутника;

сгіпотенуза прямокутного трикутника.

Якщо позначити трикутник як  АВС, то

ВС = а, АС = b, АВ = с

(тобто сторони  а, b, с – є протилежними відповідним кутам).

та – медіана, проведена до катета  а;

тb – медіана, проведена до катета  b;

тс – медіана, проведена до гіпотенузи  с;

α (альфа) – кут  САВ, що проти лежить стороні  а.

ЗАДАЧА:

Дві сторони трикутника дорівнюють  6 см  і  8 см. Медіани, проведені до цих сторін, перетинаються під прямим кутом. Знайдіть третю сторону трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Позначимо

АN = х см. ВМ = у см.

Тоді 

АО = 2/3 х, NО = 1/3 у,

ВО = 2/3 х, МО = 1/3 у.

АМ2 = ОМ2 + ОА2,

ВN2 = ОВ2 + ОN2,
5х2 + 5у2 = 225,

х2 + у2 = 45.

АВ2 = ВО2 + ОА2 =

= 4/9 (х2 + у2) = 20, то

АВ = √͞͞͞͞͞20 = 2√͞͞͞͞͞5 см.

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС:

АВ = √͞͞͞͞͞41, ВС = 13,

ВН – висота, опущена на бік  АС,

ВН = 5.

Знайдіть довжину медіани АМ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
У прямокутному трикутнику  ВНС  за теоремою Піфагора
У прямокутному трикутнику  АВН  за теоремою Піфагора
Опустимо з точки  М  перпендикуляр  МD  на бік  АС, МD – середня лінія трикутника  ВНС, отже

МD = 1/2 ВН = 5/2,

НD = DС = 1/2 НС = 6.

Тоді у прямокутному трикутнику  АМD

АDМ = 90°,

АD = АН + НD =

= 4 + 6 = 10,

МD = 5/2.

За теоремою Піфагора
ЗАДАЧА:

У прямокутному трикутнику медіани, проведені до катетів, рівні  √͞͞͞͞͞52  і √͞͞͞͞͞73. Знайдіть довжину гіпотенузи.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Проведемо медіани  АК  та  ВМ. Нехай 

АК = √͞͞͞͞͞52,

ВМ = √͞͞͞͞͞73,

х – половина довжини сторони  АС,

у – половина довжини сторони  ВС. Тоді з прямокутних трикутників  АСК  і  ВСМ  маємо:

АК2 = АС2 + СК2,

ВМ2 = МС2 + ВС2

тоді складемо систему рівнянь:
звідки

5(х2 + у2) = 125,

х2 + у2 = 25,

АК2 = 4(х2 + у2).

АВ = 10.

ЗАДАЧА:

Медіани  СМ  та  ВN  прямокутного трикутника  АВС ( С = 90°), перпендикулярні. Знайдіть катети, якщо гіпотенуза дорівнює  с.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
МА = МС = МВ = с/2.

Нехай   = х,

Тоді 

ВО = 2/3 х, МО = с/6.

МВ2 = МО2 + ВО2,
Бісектриса прямокутного трикутника.

Бісектрисою прямокутного трикутника називають відрізок бісектриси кута трикутника, який з'єднує його вершину з точкою на протилежній стороні трикутника.

Бісектриса прямокутного трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, відповідно пропорційні двом іншим сторонам.

Зв'язок кута  (αміж висотою та бісектрисою, проведеними з прямого кута, визначається через гострі кути цього трикутника.
ЗАДАЧА:

Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника утворює з гіпотенузою кути, один з яких дорівнює  70°. Знайдіть гострі кути цього трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
DBC = DBA = 45°,

DCB = 180° – 70° – 45° = 65°,

ADB = 180° – 70° = 110°,

CAB = 180° – 110° – 45° = 25°.

ЗАДАЧА:

Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки  15 см  і  20 см. Знайдіть довжини відрізків гіпотенузи, на які її поділяє висота трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам.
Отже,

СВ : АС = 15 : 20.

Нехай коефіцієнт цього відношення буде  х. Тоді

АС = 20х, ВС = 15х,

АВ = 20 + 15 = 35.

За теоремою Піфагора:

АС2 + ВС2 = АВ2,

400х2 + 225х2 = 1225.

х = √͞͞͞͞͞1,96 = 1,4,

АС = 20 ∙ 1,4 = 28,

ВС = 15 ∙ 1,4 = 21.

Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою і відрізком гіпотенузи, укладеним між катетом і висотою.
ВС2 = АВ ВН,

441 = 35 ВН,

ВН = 12,6,

АН = 35 – 12,6 = 22,4.

ЗАДАЧА:

Кут між бісектрисою та медіаною прямокутного трикутника, проведеними з вершини прямого кута, дорівнює  14°. Знайдіть менший кут цього трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Оскільки зв'язок кута  (α)  між висотою та бісектрисою, проведеними з прямого кута, визначається через гострі кути цього трикутника наступним чином:

ВАС = 45° – α,

ВСА = 45° + α,

α = МВD = 14°,

то менший кут трикутника  ВАС  дорівнюватиме:

ВАС = 45°14° = 31°.

Завдання до уроку 9
Інші уроки:

2 комментария:

  1. Добрый день, уважаемый автор этого сайта. У меня нет слов, чтобы выразить свою благодарность за ВАШ титанический труд!!! Ничего подобного не встречала. Кратко, четко, понятным языком. И НА ДВУХ ЯЗЫКАХ СРАЗУ!!! Низкий вам поклон и от учителей, родителей и учеников.

    ОтветитьУдалить
  2. Спасибо большое, такие комментарии ещё больше вдохновляют на продолжение работы с сайтом, а работа с ним бесконечна

    ОтветитьУдалить