Урок 3. Паралельні та перпендикулярні прямі

понедельник, 25 августа 2014 г.

Урок 3. Паралельні та перпендикулярні прямі

ВІДЕОУРОК
Перпендикулярні прямі.

В житті Ви не раз зустрічалися з чотирма нерозгорнутими кутами, які утворюються при перетині прямих. З'ясуємо, якими кутами виявляться всі ці кути, якщо один з них буде прямим. Як називають в цьому випадку пересічні прямі ?

Побудуємо прямий кут АОВ. Проведемо промені ОС і ОD, як продовження променів ОА і ОВ.

Отримаємо дві пересічні прямі АС і ВD і чотири кути АОВ, АОD, СОD, СОВ. Кут АОВ дорівнює куту DОС як вертикальні. Так як кут АОВ = 90°, то і кут СОD = 90°, тобто прямий, тоді суміжні кути СОВ і АОD також прямі (так як сума суміжних кутів дорівнює 180°). Таким чином, при перетині двох прямих утворилися чотири прямих кута. Ці прямі називаються перпендикулярними.

Дві пересічні прямі називаються перпендикулярними (або взаємно перпендикулярними), якщо вони утворюють чотири прямих кута.

Щоб відрізки називалися перпендикулярними має виконуватися дві умови: відрізки повинні перетинатися, а кут перетину між ними повинен дорівнювати 90°.

На кресленні прямий кут відзначають квадратом.

Для проведення перпендикулярних прямих використовують креслярський косинець

і лінійку.

У геодезії для побудови прямих кутів використовують прилад теодоліт.

Перпендикуляром до даної прямої називається відрізок прямої, перпендикулярний до даної прямої, який має одним зі своїх кінців точку перетину.

Цей кінець відрізка називається підставою перпендикуляра. Перпендикулярність прямих позначають знаком ⊥. Запис а ⊥ b читається так:

«Пряма а перпендикулярна прямий b».

Через кожну точку прямої можна провести перпендикулярну до неї пряму і тільки одну.

З будь-якої точки, яка не лежить на даній прямій, можна опустити на цю пряму перпендикуляр і тільки один.

Дві прямі, перпендикулярні до третьої, не перетинаються.

Якщо дві прямі перпендикулярні до третьої прямої, то вони між собою паралельні. Відстань між паралельними прямими - це довжина перпендикуляра, опущеного з обраної точки на одній прямій до іншої.

Властивості перпендикулярних прямих.

– якщо кожна з двох прямих перпендикулярна третій, то ці прямі паралельні;

– перпендикулярний відрізок від точки до прямої або відрізка буде називатися відстанню від точки до прямої;

– відстань від прямої до прямої так само є перпендикуляром, опущеним з будь-якої точки однієї прямої на іншу пряму.

Серединний перпендикуляр до відрізка – пряма, що проходить через середину відрізка і перпендикулярна до нього. Дві точки А і В симетричні відносно прямої а, якщо ця пряма проходить через середину відрізка АВ і перпендикулярна до нього.

Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка. Кожна точка, рівновіддалених від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі.

Кожна точка прямої а симетрична сама собі.

ПРИКЛАД:

АО = ОВ, АВ ⊥ а.

Точка А симетрична точці В відносно прямої а.

Точка О симетрична сама собі.
Геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців відрізка, буде його серединний перпендикуляр.

Паралельні прямі.

Дві прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються, відрізки, що лежать на цих прямих, теж називаються паралельними.

Паралельність прямих позначають знаком ∥. Запис а ∥ b читається:
<< Пряма а паралельна прямій b >>.

ПРИКЛАД:

Якщо прямі АВ і СD паралельні, то пишуть

АВ ∥ СD.

Паралельність трьох прямих АВ, СD і МN можна записати так:

АВ ∥ СD ∥ МN.

Сукупність всіх прямих ліній, що проходять через задану точку, називається пучком прямих. Сукупність всіх паралельних між собою ліній називається пучком паралельних прямих.

Паралельні прямі мають такі властивості:

– всі точки однієї з двох паралельних прямих рівновіддалені від другої;

– всі прямі, паралельні до деякої прямої l, паралельні між собою;

– дві паралельні прямі утворюють кут, що дорівнює нулю;

– всі прямі, які лежать в одній площині і перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, паралельні між собою;

– якщо пряма перпендикулярна до однієї із пучка паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до всіх інших прямих цього пучка;

– якщо прямі перпендикулярні до двох паралельних прямих, то їх відрізки між паралельними прямими рівні;

– якщо ряд паралельних прямих перетинає сторони кута, то на сторонах цього кута відтинаються пропорціональні відрізки:

– якщо дві паралельні прямі MN і M₁N₁ перетинаються рядом прямих, що проходять через точку О, то ці прямі розтинаються на пропорціональні частини:

Теорема ФАЛЕСА.

Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні відрізки, то вони відтинають рівні відрізки і на другій його стороні.

Теорема Фалеса буде справедливою й випадку, якщо замість сторін кута взяти дві довільні прямі. Паралельні прями, які перетинають сторони кута, відтинають на його сторонах пропорційні відрізки.

Якщо дві паралельні прямі перетнути третьою, то утвориться вісім кутів. При перетині паралельних прямих а та b січною с утворюються такі види кутів

∠1, ∠2, ∠3, ∠4 – внутрішні кути;

∠5, ∠6, ∠7, ∠8 – зовнішні кути;

∠1 і ∠3, ∠2 і ∠4 – пари внутрішніх різносторонніх кутів, які попарно рівні;

∠1 і ∠4, ∠2 і ∠3 – пари внутрішніх односторонніх кутів, які попарно в сумі становлять 180°;

∠4 і ∠5, ∠3 і ∠6, ∠1 і
∠8, ∠2 і ∠7 – пари відповідних кутів, відповідні кути попарно рівні;

∠5 і ∠8, ∠6 і ∠7 – пари зовнішніх односторонніх кутів, які попарно в сумі становлять 180°;

∠5 і ∠7, ∠6 і ∠8 – пари зовнішніх різносторонніх кутів, які попарно рівні.

Ознаки паралельності прямих.

– якщо при перетині двох прямих третьою сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то прямі паралельні;

– якщо при перетині двох прямих третьою сума внутрішні різносторонні кути рівні, то прямі паралельні;

– якщо при перетині двох прямих третьою відповідні кути рівні, то прямі паралельні;

– якщо дві прямі перпендикулярні до третьої прямої, то вони паралельні.

Основна властивість паралельних прямих.

Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більше як одну пряму, паралельну даній.

Властивості паралельних прямих.

– якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою, то сума

внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180⁰;

– якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою, то внутрішні різносторонні кути рівні;

– якщо дві паралельні прямі перетнуті третьою, то відповідні кути рівні;

– якщо пряма перпендикулярна до однієї із двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна й до іншої прямої.

Геометричним місцем точок називається фігура, що складається з усіх точок площини, які мають певну властивість. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних точок, є пряма, яка перпендикулярна до відрізка, що сполучає ці точки і проходить через його середину.

Задачі на побудову за допомогою циркуля і лінійки.

ЗАДАЧА:

Поставити перпендикуляр до даної прямої у даній на ній точці N.

На даній прямій АВ треба відкласти по обидві сторони від точки N рівні відрізки АN = NВ, а потім повторити всю побудову, наведену на рисунку.

ЗАДАЧА:

Опустити перпендикуляр на задану пряму з даної точки С, яка лежить поза нею.

Побудову можна виконати, застосовуючи прийом ділення відрізка пополам. Треба лише одержати на заданій прямій дві засічки А і В за допомогою дуги з центром у точці С довільного радіуса R, більшого за відстань від точки С до прямої АВ.

ЗАДАЧА:

Через дану точку О провести пряму, паралельну до заданої прямої MN.

Описуємо дугу довільним радіусом R₁ з центром у точці О. З точки перетину В, яка лежить на заданій прямій MN, як з центра тим самим радіусом R₁ описуємо дугу OА. Потім розхилом циркуля радіуса ОА з точки В робимо засічку і одержуємо точку D. Прямі OD і MN паралельні.

ЗАДАЧА:

Поділити даний відрізок АВ на дане число рівних частин.

Проводимо пряму ab, паралельну до АВ, на якій відкладаємо задане число рівних відрізків довільної довжини, наприклад:

ak = kl = lm = mn = nb.

Далі проводимо прямі aA, bB і через точку їх перетину О проводимо промені kO, lO, mO, nO, які й перетнуть АВ у точках K, L, M, N, що ділять АВ на задане число рівних частин (у нашому прикладі на п’ять).

Даний відрізок поділити на частини, пропорціональні до даних величин. Побудова аналогічна. Треба лише на прямій аb відкласти відрізки, що дорівнюють даних величинам.

Завдання до уроку 3

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 25 августа 2014 г.