вторник, 23 сентября 2014 г.

Урок 7. Трикутник (2)

ВІДЕОУРОК
Висота трикутника.

Висотою трикутника називають перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, яка містить його протилежну сторону.

Кожен трикутник має три висоти. Висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці. У гострокутному трикутнику точка перетину висот розміщена всередині трикутника, у тупокутному – поза трикутником. Точка перетину висот або їх продовжень – ортоцентр.
Ортоцентр  О  тупокутного трикутника лежить поза трикутником.
Ортоцентр  О  гострокутного трикутника лежить всередині трикутника.
Висоти трикутника, опущені на сторони  а, b, с, позначаються відповідно через  

ha, hb, hc  

і обчисляються за формулами
півпериметр трикутника.
Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці.

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС:  АD  і  ВЕ – висоти, що перетинаються у точці  F, ЕFD = 104°. Знайти  C.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

AFE = 180°EFD = 76°, тоді 

FAE = 90°AFE = 14°

(так як  FEA = 90°).

У трикутнику  ADC, кут  D = 90°, отже 

С =  90°FAE = 90°14° = 76°.

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС:  СЕ  і  ВF – висоти, що перетинаються у точці  Т, СТВ = 152°. Знайти  А.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

FТС = 180° СТВ = 28°, тоді 

ТСF = 90° FТС = 62°

(так як  ТEС = 90°).

У трикутнику  AЕC, кут  Е = 90°, отже 

А =  90° ТСF = 90°62° = 28°.

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС:

А = 60°, С = 80°, СЕ  і 

АD – висоти, що перетинаються в точці  F. Знайти  ЕFD.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У трикутнику  AЕC, кут 

Е = 90°, А =  60°,

тоді   

АСЕ = 90°60° = 30°.

Аналогічно у трикутнику  АDС  знаходимо, що 

DАС = 10°.

Так як сума кутів трикутника дорівнює  180°, то 

АFС = 180°10° – 30° = 140°.

Куті  АFС  і  ЕFD  рівні як вертикальні, тоді  EFD = 140°.

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС:  АЕ  і  ВF – висоти, що перетинаються в точці  О, FВС = 19°. Знайти  FОЕ.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У трикутнику  ВОЕ, кут 

Е = 90°, ОВЕ =  19°,

тоді   

ВОЕ = 90°19° = 71°.

FОЕ  суміжний з ВОЕ , суміжний з  180°  і, отже, 

FОЕ = 109°.

Бісектриса трикутника.

Бісектрисою трикутника називають відрізок бісектриси кута трикутника, якій сполучає його вершину з точкою на протилежній стороні трикутника.

Кожний трикутник має три бісектриси. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, яка міститься усередині трикутника. Бісектриса внутрішнього кута трикутника поділяє протилежну сторону на відрізки, пропорційні до прилеглих сторін.
NL – бісектриса

Бісектриса зовнішнього кута трикутника перетинає продовження протилежної сторони в такій точці, відстань від якої до кінців цієї сторони пропорціональні до прилеглих сторін.

У різностороннім трикутнику кожна бісектриса лежить між медіаною і висотою, проведеними з цієї ж вершини.

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці. Точка перетину бісектрис – інцентр.

В  АВС  бісектриси кутів  А, В, С, що лежать проти сторін  а, b, с, позначаються відповідно  la, lb, lc  і обчислюються за формулами

де  p = 1/2 (a + b + c).

Крім того, бісектриси можуть бути обчислені за формулами
ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС  сторона  ВС  дорівнює  14 см, АC – 12 см. Знайти сторону  АВ, якщо  АD – бісектриса і    дорівнює  8 см.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:
– по властивості бісектриси трикутника.

ВD = ВС – DС =
14 см – 8 см = 6 см.
ВІДПОВІДЬ:  9 см.

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС

А = 60°, В = 80°.

Бісектриса  АD  цього трикутника відсікає від нього трикутник  ACD. Знайдіть кути цього трикутника.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки сума кутів трикутника дорівнює  180°, тому  С  дорівнюватиме:

С = 180° – 80° – 60° = 40°.

Бісектриса ділить  ВАС  навпіл, отже  DАС  дорівнює 30°.

Тоді  АDС  дорівнюватиме  110°.

ВІДПОВІДЬ:

С = 40°,

DАС = 30°,

АDС = 110°.

ЗАДАЧА:

Відрізок  АD – бісектриса трикутника  АВС, зображеного на рисунку. Чому дорівнює довжина сторони  АС ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За властивістю бісектриси
ЗАДАЧА:

Відрізок  АМ – бісектриса трикутника  АВС,

АВ = 30 см, АС = 40 см,

СМ – ВМ = 5 см.

Знайдіть  ВС.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Позначимо

ВМ = х, СМ = х + 5.

тоді
30х + 150 = 40х, х = 15,

ВС = х + х + 5 = 35 (см).

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС: ВР  і  АQ – бісектриси, що перетинаються в точці  К, С = 75°. Знайдіть кут  РКQ.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

АКР = РКQ, тому що вони вертикальні.

КАВ = 0,5 САВ,

АВК = 0,5 АВС,

тоді з урахуванням того, що сума кутів у трикутнику дорівнює  180°

( САВ + АВС + С = 180°).

КАВ + АВК =

= 0,5 ( САВ + АВС) =

= 0,5 (180° – 75°) = 52,5°, значить,

АКВ = 180° ( КАВ + АВК) =

= 180° – 52,5° = 127,5°.

Таким чином,

РКQ = 127,5°.

Медіана трикутника.

Медіаною трикутника називають відрізок, який сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Кожен трикутник має три медіани.

Медіани будь-якого трикутника перетинаються в одній точці, яка знаходиться в середині трикутника і називається центроїдом (центр мас або центр тяжіння).

Медіану позначають буквою  m..

Медіани точкою перетину діляться у відношенні  2 : 1, починаючи від вершини трикутника.
AN –  медіана, ВL – медіана, CM – медіана.

О – центроїд трикутника  АВС.                            

AO : ON = BO : OL =

= CO : OM = 2 : 1

Якщо медіани проведені до сторін  a, b  і  c, відповідно записують так:  ma  mb  і  mc.

Медіана ділить трикутник на два рівновеликі трикутники (з рівними площами).
SABM  = SCBM

Усі медіани ділять трикутник на шість рівновеликих трикутників.
SAPN  = SBPN = SBKN  = SCKN = SCMN  = SAMN

Якщо точку перетину медіан трикутника з'єднати відрізками з вершинами трикутника, то трикутник розділиться на три рівновеликі трикутники.
SAВN  = SBСN = SАСN

Якщо  

ВС = а, АС = b, АВ = с, то:

Медіана трикутника є геометричним місцем точок, що є серединами відрізків прямих, укладених усередині трикутника, паралельних тій стороні, до якої проведена медіана.

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС  на стороні  АС  відзначені точки  M  та  N  так, що  М – середина  АN, а  BN – медіана у трикутнику  ВMС. У скільки разів  АС  довша, ніж  МN ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

AM = MN,

MN = NC,

тоді

AC = AM + MN + NC = 3MN,

AC = AM : MN = 3.

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС  задані медіани

ma, mb, mc.

Знайти сторони трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо сторони трикутника 

АВ = с, АС = b, ВС = а.

Тоді використовуючи формули медіан, отримаємо систему рівнянь:
Складаючи усі рівняння системи, отримаємо:
Помножимо обидві частини рівняння на  2.
Розділимо обидві частини рівняння на  3  і отримаємо наступне рівняння:
Віднімемо з отриманої рівності перше рівняння системи
або
Аналогічно віднімаючи з отриманої рівності
послідовно друге, а потім третє рівняння системи, отримаємо наступний результат:
Звідси отримуємо формули для обчислення сторін трикутника через його медіани:
Завдання до уроку 7
Інші уроки:

Комментариев нет:

Отправить комментарий