Урок 26. Рівнобічна трапеція

вторник, 2 декабря 2014 г.

Урок 26. Рівнобічна трапеція

ВІДЕОУРОК
Рівнобічною (рівнобедреної) називають трапецію, у якої бічні сторони рівні.

Властивості рівнобічної трапеції:

– у рівнобічній трапеції кути при кожній основі рівні;
– сума протилежних кутів рівнобічної трапеції дорівнює 180°;
– діагоналі рівнобічної трапеції рівні;
– якщо BK і CM – висоти рівнобічної трапеції ABCD, то:

∆ ABK = ∆ DCM;

AK = DM = ¹/₂ (AD – BC);

KD = MA = ¹/₂ (AD + BC).

ЗАДАЧА:

Знайдіть меншу основу рівнобічної трапеції, якщо висота проведена з вершини тупого кута, ділить більшу основу на відрізки 7 см і 22 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
ВС = АD – 2АК =

= (22 + 7) – 2 ∙ 7 = 15 (см).

ЗАДАЧА:

Висота рівнобедреної трапеції вдвічі менша за бічну сторону. Визначити кути трапеції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

В трапеції АВСD проводимо з точки В висоту ВF ⊥ AD,

AB = 2BF;

∆ ABF – прямокутний; отже, гіпотенуза його у два рази більша за катет.

ВІДПОВІДЬ:

∠ А = ∠ С = 30°;

∠ B = ∠ D = 150°.

ЗАДАЧА:

Визначити кути рівнобедреної трапеції, в якій верхня основа дорівнює бічній стороні, а діагональ перпендикулярна до бічної сторони.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За умовою

AB = CD = BC, AC ⊥ CD.

В такому рази ∆ ABC – рівнобедрений; отже,

∠ BCA = ∠ CAB.

Але ∆ ABC як кути при основі рівнобедреної трапеції, а

∠ CAD = ∠ BCA

як внутрішні різносторонні кути при BC ∥ AD і січній AC. Отже,

∠ A = 2∠ CAD.

Далі, за умовою ∆ ACD – прямокутний, так що

∠ CAD + ∠ D = 90°;

але оскільки ∠ D = ∠ A, то

90° = 3∠ CAD; отже,

∠ CAD = 30° і тоді

∠ D = ∠ A = 60°,

∠ C = ∠ B = 120°.

ВІДПОВІДЬ:

∠ А = ∠ D = 60°;

∠ B = ∠ C = 120°.

ЗАДАЧА:

Знайти середню лінію рівнобедреної трапеції, діагональ якої є бісектрисою гострого кута, бічна сторона 5, а одна з основ у 2 рази більша за іншу.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки основи трапеції паралельні, то кут ADВ дорівнює куту DВС, як внутрішні навхрест лежать кути. Оскільки за умовою діагональ є бісектрисою, то кути ADВ та ВDС рівні. Звідки випливає, що кути CBD і CDВ рівні.

Зі сказаного вище слід, що трикутник ВСD – рівнобедрений. Таким чином, оскільки бічна сторона дорівнює 5 см, то основа ВС також дорівнює 5 см.

Згідно з умовою, друга основа більша вдвічі, тобто дорівнює 10 см. Середня лінія трапеції дорівнює напівсумі основ. Звідки середня лінія трапеції дорівнює:

(5 + 10) : 2 = 7,5 (см).

ВІДПОВІДЬ: 7,5 см.

ЗАДАЧА:

Бічні сторони рівнобічної трапеції дорівнюють меншій основі й утворюють з більшою основою кути по 60°. Знайдіть більшу основу трапеції, якщо менша основа дорівнює 5 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай АВСD (АВ ∥ СD) – задана трапеція,
∠ ВАЕ = ∠ СDА = 60°,

АВ = ВС = СD = 5 см.

Проведемо ВЕ ∥ СD,

ВСDЕ – паралелограм.

ЕD = ВС = 5 см,

ВЕ = СD = 5 см.

У трикутнику АВЕ, АВ = ВЕ, тому

∠ Е = ∠ А = 60°

і трикутник рівносторонній. Значить,

АЕ = АВ = 5 см. Потому

АD = АЕ + ЕD =

= 5 + 5 = 10 (см).

ВІДПОВІДЬ: 10 см

Завдання до уроку 26

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

вторник, 2 декабря 2014 г.