Урок 7. Трикутник (2)

ВІДЕОУРОК

Висота трикутника.

Висотою трикутника називають перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, яка містить його протилежну сторону.

Кожен трикутник має три висоти. Висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці. У гострокутному трикутнику точка перетину висот розміщена всередині трикутника, у тупокутному – поза трикутником. Точка перетину висот або їх продовжень – ортоцентр.

Ортоцентр  О  тупокутного трикутника лежить поза трикутником.

Ортоцентр  О  гострокутного трикутника лежить всередині трикутника.

Висоти трикутника, опущені на сторони  а, b, с, позначаються відповідно через  

h_a, h_b, h_c  

і обчисляються за формулами

– півпериметр трикутника.

Серединні перпендикуляри до сторін трикутника перетинаються в одній точці.

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС:  АD  і  ВЕ – висоти, що перетинаються у точці  F, ∠ ЕFD = 104°. Знайти  ∠ C.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

∠ AFE = 180° – ∠ EFD = 76°, тоді 

∠ FAE = 90° – ∠ AFE = 14°

(так як  ∠ FEA = 90°).

У трикутнику  ADC, кут  D = 90°, отже 

∠ С =  90° – ∠ FAE = 90° – 14° = 76°.

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС:  СЕ  і  ВF – висоти, що перетинаються у точці  Т, ∠ СТВ = 152°. Знайти  ∠ А.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

∠ FТС = 180° – ∠ СТВ = 28°, тоді 

∠ ТСF = 90° – ∠ FТС = 62°

(так як  ∠ ТEС = 90°).

У трикутнику  AЕC, кут  Е = 90°, отже 

∠ А =  90° – ∠ ТСF = 90° – 62° = 28°.

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС:

∠ А = 60°, ∠ С = 80°, СЕ  і 

АD – висоти, що перетинаються в точці  F. Знайти  ∠ ЕFD.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У трикутнику  AЕC, кут 

Е = 90°, ∠ А =  60°,

тоді   

∠ АСЕ = 90° – 60° = 30°.

Аналогічно у трикутнику  АDС  знаходимо, що 

∠ DАС = 10°.

Так як сума кутів трикутника дорівнює  180°, то 

∠ АFС = 180° – 10° – 30° = 140°.

Куті  АFС  і  ЕFD  рівні як вертикальні, тоді  ∠ EFD = 140°.

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС:  АЕ  і  ВF – висоти, що перетинаються в точці  О, ∠ FВС = 19°. Знайти  ∠ FОЕ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У трикутнику  ВОЕ, кут 

Е = 90°, ∠ ОВЕ =  19°,

тоді   

∠ ВОЕ = 90° – 19° = 71°.

∠ FОЕ  суміжний з ∠ ВОЕ , суміжний з  180°  і, отже, 

∠ FОЕ = 109°.

Бісектриса трикутника.

Бісектрисою трикутника називають відрізок бісектриси кута трикутника, якій сполучає його вершину з точкою на протилежній стороні трикутника.

Кожний трикутник має три бісектриси. Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, яка міститься усередині трикутника. Бісектриса внутрішнього кута трикутника поділяє протилежну сторону на відрізки, пропорційні до прилеглих сторін.

NL – бісектриса

Бісектриса зовнішнього кута трикутника перетинає продовження протилежної сторони в такій точці, відстань від якої до кінців цієї сторони пропорціональні до прилеглих сторін.

У різностороннім трикутнику кожна бісектриса лежить між медіаною і висотою, проведеними з цієї ж вершини.

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці. Точка перетину бісектрис – інцентр.

В  ∆ АВС  бісектриси кутів  А, В, С, що лежать проти сторін  а, b, с, позначаються відповідно  l_a, l_b, l_c  і обчислюються за формулами

де  p = ¹/₂ (a + b + c).

Крім того, бісектриси можуть бути обчислені за формулами

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС  сторона  ВС  дорівнює  14 см, АC – 12 см. Знайти сторону  АВ, якщо  АD – бісектриса і  DС  дорівнює  8 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

– по властивості бісектриси трикутника.

ВD = ВС – DС =

14 см – 8 см = 6 см.

ВІДПОВІДЬ:  9 см.

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС

∠ А = 60°, ∠ В = 80°.

Бісектриса  АD  цього трикутника відсікає від нього трикутник  ACD. Знайдіть кути цього трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки сума кутів трикутника дорівнює  180°, тому  ∠ С  дорівнюватиме:

∠ С = 180° – 80° – 60° = 40°.

Бісектриса ділить  ∠ ВАС  навпіл, отже  ∠ DАС  дорівнює 30°.

Тоді  ∠ АDС  дорівнюватиме  110°.

ВІДПОВІДЬ:

∠ С = 40°,

∠ DАС = 30°,

∠ АDС = 110°.

ЗАДАЧА:

Відрізок  АD – бісектриса трикутника  АВС, зображеного на рисунку. Чому дорівнює довжина сторони  АС ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За властивістю бісектриси

ЗАДАЧА:

Відрізок  АМ – бісектриса трикутника  АВС,

АВ = 30 см, АС = 40 см,

СМ – ВМ = 5 см.

Знайдіть  ВС.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Позначимо

ВМ = х, СМ = х + 5.

тоді

30х + 150 = 40х, х = 15,

ВС = х + х + 5 = 35 (см).

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС: ВР  і  АQ – бісектриси, що перетинаються в точці  К, ∠ С = 75°. Знайдіть кут  РКQ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

∠ АКР = ∠ РКQ, тому що вони вертикальні.

∠ КАВ = 0,5 ∙ ∠ САВ,

∠ АВК = 0,5 ∙ ∠ АВС,

тоді з урахуванням того, що сума кутів у трикутнику дорівнює  180°

(∠ САВ + ∠ АВС + ∠ С = 180°).

∠ КАВ + ∠ АВК =

= 0,5∙ (∠ САВ + ∠ АВС) =

= 0,5∙ (180° – 75°) = 52,5°, значить,

∠ АКВ = 180° – (∠ КАВ + ∠ АВК) =

= 180° – 52,5° = 127,5°.

Таким чином,

∠ РКQ = 127,5°.

Медіана трикутника.

Медіаною трикутника називають відрізок, який сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Кожен трикутник має три медіани.

Медіани будь-якого трикутника перетинаються в одній точці, яка знаходиться в середині трикутника і називається центроїдом (центр мас або центр тяжіння).

Медіану позначають буквою  m..

Медіани точкою перетину діляться у відношенні  2 : 1, починаючи від вершини трикутника.

AN –  медіана, ВL – медіана, CM – медіана.

О – центроїд трикутника  АВС.                            

AO : ON = BO : OL =

= CO : OM = 2 : 1

Якщо медіани проведені до сторін  a, b  і  c, відповідно записують так:  m_a  m_b  і  m_c.

Медіана ділить трикутник на два рівновеликі трикутники (з рівними площами).

S_ABM  = S_CBM

Усі медіани ділять трикутник на шість рівновеликих трикутників.

S_APN  = S_BPN = S_BKN  = S_CKN = S_CMN  = S_AMN

Якщо точку перетину медіан трикутника з'єднати відрізками з вершинами трикутника, то трикутник розділиться на три рівновеликі трикутники.

S_AВN  = S_BСN = S_АСN

Якщо  

ВС = а, АС = b, АВ = с, то:

Медіана трикутника є геометричним місцем точок, що є серединами відрізків прямих, укладених усередині трикутника, паралельних тій стороні, до якої проведена медіана.

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС  на стороні  АС  відзначені точки  M  та  N  так, що  М – середина  АN, а  BN – медіана у трикутнику  ВMС. У скільки разів  АС  довша, ніж  МN ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

AM = MN,

MN = NC,

тоді

AC = AM + MN + NC = 3MN,

AC = AM : MN = 3.

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС  задані медіани

m_a, m_b, m_c.

Знайти сторони трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Позначимо сторони трикутника 

АВ = с, АС = b, ВС = а.

Тоді використовуючи формули медіан, отримаємо систему рівнянь:

Складаючи усі рівняння системи, отримаємо:

Помножимо обидві частини рівняння на  2.

Розділимо обидві частини рівняння на  3  і отримаємо наступне рівняння:

Віднімемо з отриманої рівності перше рівняння системи

або

Аналогічно віднімаючи з отриманої рівності

послідовно друге, а потім третє рівняння системи, отримаємо наступний результат:

Звідси отримуємо формули для обчислення сторін трикутника через його медіани:

Завдання до уроку 7

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Точка і пряма
• Урок 2. Кут 
• Урок 3. Паралельні і перпендикулярні прямі
• Урок 4. Коло 
• Урок 5. Кут і коло 
• Урок 6. Трикутник (1) 
• Урок 8. Прямокутній трикутник (1) 
• Урок 9. Прямокутній трикутник (2) 
• Урок 10. Рівнобедрений (рівносторонній) трикутник (1)
• Урок 11. Рівнобедрений (рівносторонній) трикутник (2) 
• Урок 12. Периметр трикутника.
• Урок 13. Периметр рівнобедреного трикутника
• Урок 14. Трикутник і коло
• Урок 15. Прямокутний трикутник і коло
• Урок 16. Рівнобедрений трикутник і коло
• Урок 17. Чотирикутники
• Урок 18. Паралелограм
• Урок 19. Периметр паралелограма
• Урок 20. Прямокутник
• Урок 21. Периметр прямокутника
• Урок 22. Квадрат
• Урок 23. Ромб
• Урок 24. Периметр ромба
• Урок 25. Трапеція
• Урок 26. Рівнобічна трапеція
• Урок 27. Периметр трапеції
• Урок 28. Чотирикутник і коло (1)
• Урок 29. Чотирикутник і коло (2)
• Урок 30. Многокутник
• Урок 31. Правильний многокутник
• Урок 32. Осьова і центральна симетрії