Урок 5. Кут і коло

понедельник, 25 августа 2014 г.

Урок 5. Кут і коло

ВІДЕОУРОК
Кут, вершина якого збігається з центром кола, називається центральним кутом.

ПРИКЛАД:

∠ АОВ – центральний кут.

Сторони центрального угла перетинають круг у двох точках і поділяють його на дві дуги.

Якщо центральний кут розгорнутий, то йому відповідають два півкола.

Якщо центральний кут нерозгорнутий, то дуга, розташована всередині цього кута, менше півкола, а друга дуга більше півкола.

Кожна дуга кола містить деяку кутову міру – міру відповідного їй центрального кута. Говорять також, що центральний кут вимірюється дугою, яку він спирається. Пишуть:

∪АВ = 60°.

Кутова міра всього кола дорівнює 360°.

Півколо дорівнює розгорнутому куту, тобто вона дорівнює 180°. Якщо дуга кола менша або дорівнює півколу, то її градусна міра дорівнює градусній мірі відповідного їй центрального кута. Якщо дуга кола більша за півкола, то її градусна міра дорівнює 360° мінус центральний кут. Сума градусних заходів двох дуг кола із загальними кінцями дорівнює 360°.

Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло, називається вписаним кутом.

Якщо дуга лежить у внутрішній області вписаного кута, то говорять, що даний вписаний спирається на дугу.

ПРИКЛАД:

∠ АВС – вписаний кут.

– вписаний кут вимірюється половиною дуги, яку він спирається;

ЗАДАЧА:

Кут АВС – вписаний в коло з центром О, кут

АОС = 120°.

Знайти кут АВС.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

∠ АВС = ¹/₂∠ АОС = ¹/₂×120° = 60°.

ВІДПОВІДЬ: 60°.

ЗАДАЧА:

Точки А, В і С лежать на колі з центром О. Знайдіть кут АОС, якщо ∠ АВС = 66°.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Кут АВС, вписаний у коло, спирається на дугу АС.
∠ АОС = 132° – так як це центральний кут даного кола і він у два рази більший за вписаний.

– вписані кути, що спираються на ту саму дугу, рівні;
– вписаний кут, що спирається на півколо – прямий;

ЗАДАЧА:

Точка О – центр кола, зображеного на рисунку.
Чому дорівнює градусна міра кута АОС ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Вписаний кут АВС спирається на дугу АmС, тому її градусна міра

2 ∙ 130° = 260°.

Градусна міра дуги, на яку спирається центральний кут АОС:

360° – 260° = 100°,

∠ АОС = 100°.

ЗАДАЧА:

Знайдіть вписаний кут, який спирається на дугу, що становить ¹/₄ кола.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

360° : 4 = 90° – міра дуги,

90° : 2 = 45° – міра вписаного кута.

ЗАДАЧА:

Точка О – центр кола, зображеного на рисунку. Знайдіть градусну міру кута АВС.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

∪ АС = 52°, тоді

∠ АВС = ¹/₂ ∪ АС =

= ¹/₂ ∙ 52° = 26°.

Довжина дуги кола.

Кут й дуги вимірюють у градусах й радіанах. Довжина дуги

де n – градусна міра відповідного центрального кута.

Нехай l – довжина дуги кола радіуса R, α – радіанна міра центрального кута цього кола, що спирається на дугу, що розглядається.

На підставі визначення радіанної міри кута маємо:

Остання рівність дозволяє виразити довжину l дуги кола через α і R:

l = R∙ α.

Довжина кола дорівнює довжині радіусу цього кола, помноженого на радіальну міру центрального кута, що спирається на цю дугу.

ЗАДАЧА:

Знайдіть градусну міру дуги кола, довжина якої дорівнює π см, якщо радіус кола дорівнює 12 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ЗАДАЧА:

Знайдіть градусну міру дуги кола, довжина якої дорівнює 2π см, якщо радіус кола дорівнює 6 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:
ЗАДАЧА:

Кінці хорди кола ділять його на дві дуги, градусні міри яких відносяться як 1 : 17. Знайдіть градусну міру меншої дуги.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай х – градусна міра однієї дуги, тоді 17х – іншої.

х + 17х = 360°,

18х = 360°, х = 20°.

ЗАДАЧА:

Знайдіть довжину дуги кола, градусна міра якої дорівнює 60°, якщо радіус кола – 7 см.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Довжина кола дорівнює

2π ∙ 7 = 14π см.

Довжина дуги кола дорівнює

14π : 360° ∙ 60° = ^7π/₃ см.

ЗАДАЧА:

Знайдіть довжину ¹/₃ дуги кола радіуса 12 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

l = 2πr = 2π ∙ 12 = 24π см,

¹/₃l =¹/₃ ∙ 24π = 8π см.

ЗАДАЧА:

Точки M і N ділять коло на дві дуги, різниця градусних заходів яких дорівнює 90°. Чому рівні градусні заходи кожної з дуг ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Сума градусних заходів дуг дорівнює 360°, а різниця дорівнює 90°. Позначимо градусні заходи цих дуг х і у. Маємо:

Вирішуючи цю систему, отримаємо:

х = 225°, у = 135°.

ЗАДАЧА:

Знайти довжину l дуги кола радіуса 20 см, якщо ця дуга стягує центральний кут, що дорівнює 48°42'.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Ми знаємо, що один радіан дорівнює:

1 рад = 57°18'.

Отже, радіанна міра кута 48°42' дорівнюватиме:

48°42' : 57°18' ≈ 0,8467 ≈ 0,8500.

Тоді маємо:

l ≈ 20 ∙ 0,8500 ≈ 17 см.

ЗАДАЧА:

Знайти довжину l дуги кола, радіус якого R дорівнює 25 см, якщо дуга містить 42°24'.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Радіанна міра цієї дуги дорівнює 0,7400. Тоді дуги обчислюються так:

l = 25 ∙ 0,7400 ≈ 18,5 см.

– кут, вершина якого лежить в середині кола, вимірюється підлозі сумою двох дуг, на які спираються даний і вертикальний з ним кути;

– кут, сторони якого перетинають коло, а вершина лежить поза коло, вимірюється напіврізністю дуг цього кола, які лежать усередині кута;

– кут між дотичною та хордою, яка проходить через точку торкання, вимірюється половиною дуги, що лежить між його сторонами.

– якщо дві хорди кола перетинаються, то твір відрізків однієї хорди дорівнює твору відрізків іншої хорди.

ПРИКЛАД:

Якщо АВ и СD – хорди кола, що перетинаються в точці К, то

АК × ВК = СК × DК.

– відрізки дотичних до кола, приведені з однієї точки, рівні і складають рівні кути з прямою, що проходить через точку і центр кола.

Завдання до уроку 5

Інші уроки:

Уроки математики и физики для школьников и родителей

понедельник, 25 августа 2014 г.