Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

пятница, 14 ноября 2014 г.

Урок 3. Одночлены

Из целых выражений наиболее простыми являются одночлены.

Алгебраическое выражение, которое содержит только действия умножения и возведения в степень, называется одночленом.

ПРИМЕР:

6,  –1/12,  z,  x3, 

0,3a2x,  3a × 5c.

7ab2;   –2/5 b;   

2/5 x2y2;   –023;   c,

3a ∙ (2,5а3),

(5аb2) ∙ (0,4с3d),

х2у ∙ (–2z) ∙ 3/4.

 Любая сумма, разность, частное, даже если они возведены в степень, не являются одночленами. 

ПРИМЕР:

Выражения
не являются одночленами.

Также не является одночленом выражение
так как представляет собой частное, но оно в отличие от рассмотренных выше может быть представлено в виде произведения числа  2/3  и переменных  p  и  q, то есть в виде одночлена  2/3 pq.

Стандартный вид одночлена.

Одночлен  –3аах ∙ 5ах  можно представить в различных видах Например, как  –15ааахх  или  –15а3х2. Одночлен  –15а3х2  отличается от одночленов  –3аах ∙ 5ах  и  –15ааахх  тем, что он имеет один числовой множитель, стоящий на первом месте, и каждое произведение одинаковых переменных в нём представлено степенью. Такой вид одночлена называют стандартным.

Любой одночлен можно привести к стандартному виду, то есть представить в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте и степеней различных переменных.

Если одночлен имеет только один числовой множитель, к тому же поставленный на первое место, и если каждая переменная входит только до одного множителя, то такой одночлен называется одночленом стандартного  вида.

ПРИМЕР: 

3а ∙ 5с =

3 ∙ 5 ∙ а ∙ с = 15ас,

0,5ху ∙ 4у3 =

0,5 ∙ 4 ∙ х ∙ у ∙ у3 = 2ху4,

4сх(–2сх3) =

4 ∙ (–2) ∙ с ∙ с ∙ х ∙ х3 = –8с2х4.

Одночлены 

3а ∙ 5с, 2х3х2,  аb ∙ 8  

записаны не в стандартном виде: первый содержит два числовых множителя  3  и  5, второй содержит два множителя  с той же самой переменной  х, в третьем числовой множитель  8  стоит не на первом месте

Понятие о коэффициенте одночлена.

Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена.

Одночлены такие, как  аbс  и  –х2, не содержат числовых множителей. Тем не менее их относят к одночленам, имеющим стандартный вид. Считают, что коэффициентами этих одночленов служат числа  1  и  –1, так как

аbс = 1 ∙ аbс  и  –х2 = (–1) ∙ х2.

Если выражение содержит только буквенные множители, то его  коэффициент равен единице или минус единице.

ПРИМЕР:

Вместо  1с  пишут просто  с, вместо  1аb  просто пишут  аb.

ПРИМЕР:

Коэффициенты одночленов 

15xz, –8,3a2, m3, –p 

соответственно равны 

15, –8,3, 1  и  –1.

Коэффициенты  1  и  –1  не принято писать.

ПРИМЕР:

Найдём коэффициент выражения

–а ∙ (–b).

РЕШЕНИЕ:

Так как

–а ∙ (–b) = аb,

то, коэффициентом выражения будет  1.

Коэффициент может быть целым числом или дробным.

Если коэффициент – натуральное число, то он показывает, сколько раз стоящее за ним выражение берётся слагаемым.

ПРИМЕР:

В выражении  5cd  коэффициент целое число,

5cd = cd + cd + cd + cd + cd.

Если же коэффициент – дробное положительное число, то он показывает, какую дробь надо взять от значения стоящего за ним выражения.

ПРИМЕР:

В выражении  5/6 ab  коэффициент дробное число и означает, что при любых значениях  a  и  b  надо взять 5/6  от их произведения.

С помощью коэффициентов можно короче записать многие выражения, содержащие одинаковые буквы, соединённые знаками  <<+>>  и  <<–>>.

ПРИМЕР:

c + c + c + c + c = 5c,

x + x – y – y – y = 2x – 3y,

В дальнейшем понятие коэффициента обобщается, даже буквенные множители можно рассматривать как коэффициенты.

ПРИМЕР:

В выражении  2abx  коэффициентом при  х  есть  2ab.

Понятие о степени одночлена.

В одночлене  5х2  переменная  х  во второй степени. Говорят, что одночлен  5х2 – второй степени, а одночлен  3,7х5 – пятой степени.

Если одночлен содержит нескольких переменных, то степень такого одночлена условились считать равной сумме показателей степеней этих переменных. В одночлене сумму показателей степеней переменных называют степенью одночлена.

Степень одночлена – это сумма показателей степеней всех переменных, которые входят в этот одночлен.

ПРИМЕР:

Одночлен  8х3у2z  имеет шестую степень, так как сумма показателей входящих в него переменных равна

3 + 2 + 1 = 6.

Степень одночлена  –0,9аb  равна двум.

Степень одночлена  3/17 m6n3 – девяти.

Всякое число является одночленом. Если одночлен число, считают, что его степень равна нулю. По определению полагают, что при

х ≠ 0, х0 = 1.

ПРИМЕР:

Число  5  можно представить в виде  5х0  или в виде  5а0b0. Степень каждого из одночленов  5х0, 5а0b0  и, следовательно, одночлена  5  равна нулю.

Выражению  00  не приписывается никакого смысла.

Приведение подобных членов.

Два одночлена равны, если у них равны коэффициенты и они составлены из одинаковых букв с соответственно равными показателями.

Одночлены называются подобными, если они равны или отличаются только коэффициентами.

ПРИМЕР:

Одночлены  2a2b3  и  6/3 a2b3  равны.

Одночлены  2a3,  –3a3  и  1/2 a3  подобны.

Подобные одночлены можно складывать и вычитать, в результате чего снова получается одночлен, подобный исходным (иногда получается  0).

Сложение и вычитание подобных одночленов называют приведением подобных членов.

Задания к уроку 3
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий