Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

пятница, 28 ноября 2014 г.

Урок 16. Рівнобедрений трікутнік і коло

ВІДЕОУРОК

Описане коло рівнобедреного трикутника.

Для того, щоб знайти радіус описаного кола рівнобедреного трикутника, можна скористатися наступною формулою:
ЗАДАЧА:

Основа рівнобедреного тупокутного трикутника дорівнює  18 см, а радіус описаного навколо нього кола – 15 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

 У чотирикутнику  АОВС

АО = ВО = СО = 15 см

як радіуси описаного кола.
У рівнобедреному трикутнику  АВС  АС = ВС, основа  АВ = 18 см.
Висота  СD  лежить на серединному перпендикулярі до основи  АВ, тому

АD = ВD = 0,5АВ 
= 0,5 × 18 = 9 см.

З трикутника  ОВD  за наслідком з теореми Піфагора:
СD = СО – DО = 
= 15 – 12 = 3 (см).

З трикутника  СDВ  за теоремою Піфагора:
ВІДПОВІДЬ:  3√͞͞͞͞͞10 см

ЗАДАЧА:

Висота рівнобедреного тупокутного трикутника, проведена до його основи, дорівнює  8 см, а радіус описаного навколо нього кола – 13 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
ОА = ОВ = ОС = R = 13 см.
ОН = 13 – 8 = 5 (см).
Вписане коло рівнобедреного трикутника.
Для того, щоб знайти радіус вписаного кола рівнобедреного трикутника, можна скористатися наступною формулою:
Радіус вписаного в рівнобедрений трикутник кола, виражений через бічну сторону та висоту, опущену на основу, виражається такою формулою:
ЗАДАЧА:

Висота рівнобедреного трикутника дорівнює  18 см, а радіус вписаного в нього кола – 8 см. Знайдіть периметр даного трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У трикутнику  АВС: 

АВ = ВС,

ВD – висота,

ВD = 18 см,

точка  О – центр вписаного кола.
Оскільки  ∆ АВС – рівнобедрений, то точка  О  належить його висоті і бісектрисі  ВD, а відрізок  ОD – радіус вписаного кола,

ОD = 8 см. Тоді

ВО = ВD – ОD = 10 см.

Центром кола, вписаного в трикутник, є точка перетину бісектрис трикутника. Тоді відрізок  АО – бісектриса трикутника  АDВ. За властивістю бісектриси трикутника
Нехай  АВ = 5х см, х ˃ 0,

тоді  АD = 4х см.

З  ∆ АDВ (∠ АDВ = 90°):

АВ2 – АD2 = ВD2,

25х2 – 16х2 = 182,

9х2 = 324, х = 6.

Отже,

АВ = 30 см, АD = 24 см,

АС = 2АD = 48 см.

Тоді 

Р = 2АВ + АС = 108 см

Радіус вписаного та описаного кола для рівностороннього трикутника виражається такими формулами:
У рівностороннього трикутника центри вписаного та описаного кола, центр тяжіння та ортоцентр збігаються, а сума радіусів описаного та вписаного кола дорівнює висоті.
ЗАДАЧА:
Чому дорівнює радіус кола, вписаного в правильний трикутник зі стороною  12 см ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки трикутник  АВС – рівносторонній, у якому  ВD  є бісектрисою, висотою та медіаною, то кут  DВС  дорівнюватиме  30°.

Трикутник  ВDС – прямокутний у якому проти кута в  30° знаходиться катет, що дорівнює половині гіпотенузи. Отже

DС = 6 см.

По теоремі Піфагора знаходимо  ВD.
Тоді
r = 1/3 ВD =
= 1/3∙ 6√͞͞͞͞͞3 = 2√͞͞͞͞͞3 (см).

ЗАДАЧА:

Визначити відношення радіусу вписаного в рівносторонній трикутник кола до радіусу описаного кола

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

У рівносторонньому  ∆ АВС  його три медіани, бісектриси і висоти співпадають і перетинаються в одній точці – центрі трикутника. Радіусом описаного кола буде відрізок, що сполучає центр  O  c однією з вершин трикутника, а вписаною – апофема  ОD.
Але оскільки  АO  ще і бісектриса, то  

 ∠ ОАD = 30°, 

 а  ∆ АOD – прямокутний, отже

ЗАДАЧА:

Коло дотикається до одного з катетів рівнобедреного прямокутного трикутника і проходить через вершину протилежного гострого кута. Знайдіть радіус кола, якщо його центр належить гіпотенузі трикутника, а катет трикутника дорівнює  10 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай   АВС – заданий прямокутний трикутник  (∠ А = 90°),

АВ = АС = 10 см.
О ∈ ВС – центр кола, яке проходить через точку  С.

Е – точка дотику кола до катета  АВ.

У трикутнику  АВС

∠ В = ∠ С = 45°  і 

АВ = АС = 10 (см).

Нехай  ОС = ОЕ = х (см).

З трикутника 

ОЕВ (∠ Е = 90°, ∠ В = 45°) 

ОВ = √͞͞͞͞͞2  ∙ ОЕ = √͞͞͞͞͞2 х (см).

Оскільки  ВС = ОВ + ОС,

то маємо: 10√͞͞͞͞͞2 = √͞͞͞͞͞2 х + х, звідки
ВІДПОВІДЬ:  10(2 – √͞͞͞͞͞2) см

Завдання до уроку 16
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий