Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

пятница, 28 ноября 2014 г.

Урок 18. Паралелограм

ВІДЕОУРОК

Паралелограм – чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні (тобто лежать на паралельних прямих).

Наприклад,  АВСD – паралелограм, оскільки 

АВ ॥ СD, BC ॥ AD.
Основні властивості паралелограма.

– протилежні сторони рівні;
– дві протилежні сторони паралельні;
– діагоналі діляться в точці перетину навпіл;
– протилежні кути рівні.
Наявність у чотирикутника однієї з цих властивостей або рівності або паралельності однієї пари протилежних сторін викликає, як наслідок, решту всіх властивостей.

Ознаки паралелограма.  

– якщо дві сторони чотирикутника рівні та паралельні, то цей чотирикутник – паралелограм;

– якщо протилежні сторони чотирикутника попарно рівні, цей чотирикутник – паралелограм;

– якщо в чотирикутнику діагоналі перетинаються і в точці перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник – паралелограм, а точка перетину діагоналей є його центром симетрії;

– сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює  180°;
– діагональ ділить паралелограм на два рівних трикутника;
– сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін.

Висотою паралелограма називають перпендикуляр, опущений із будь-якої точки однієї сторони на протилежну сторону або її продовження.    

– у паралелограмі кут між висотами дорівнює його гострому куту;
– бісектриси кутів, що прилягають до однієї сторони паралелограма, взаємно перпендикулярні;
– бісектриси двох протилежних кутів паралелограма паралельні.
ЗАДАЧА:

Один із кутів паралелограма дорівнює  45°. Його висота, опущена з вершини тупого кута, дорівнює  3 см  і поділяє сторону паралелограма навпіл. Знайдіть цей бік паралелограма.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:
∠ 1 = 90° – 45° = 45°,

АЕ = ВЕ = 3 (см).

АD = 2 ∙ АЕ = 2 ∙ 3 = 6 (см).

ЗАДАЧА:

Різниця двох кутів паралелограма дорівнює  20°. Знайдіть менший кут паралелограма.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Позначимо менший кут – х,

тоді більший буде  х + 20°.

Складемо рівняння:

х + х + 20° = 180°.

Вирішимо його:

2х = 160°, х = 80°.

ЗАДАЧА:

Сума двох кутів паралелограма дорівнює  168°. Знайти його кути.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Двома заданими кутами можуть бути тільки протилежні кути паралелограма, бо сума кутів, які прилягають до однієї сторони дорівнює  180°. Отже, ці кути по

168° : 2 = 84°

(протилежні кути паралелограма рівні).

Тоді кожен із решти кутів по

180° – 84° = 96°.

ВІДПОВІДЬ:  84°, 96°.

ЗАДАЧА:

Сторони трикутника дорівнюють  8 см, 9 см  і  13 см. Знайдіть медіану трикутника, проведену до найбільшої сторони.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Нехай  АВС – заданий трикутник,
у якому 

ВС = 8 см,

АВ = 9 см,

АС = 13 см,

ВМ – медіана, тому 

МС = 1/2 АС.

Відкладемо на продовженні медіани   ВМ 

МD = ВМ.

Отримаємо паралелограм  АВСD  (діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться  навпіл).

На підставі формули
запишемо:

ВD2 + АС2 = 2(АВ2 + ВС2),

Знайдемо  ВD:

ВD2 + 132 = 2(92 + 82),

ВD2 = 121, ВD = 11.

Тепер знайдемо медіану  ВМ:

ВМ = 0,5 ∙ ВD = 5,5 см.

ЗАДАЧА:

Сторони трикутника дорівнюють  6 см  і  8 см. Медіана трикутника, проведена до третьої сторони, дорівнює  √͞͞͞͞͞46 см. Знайдіть невідому сторону трикутника.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Нехай  АВС – заданий трикутник,
ВО – медіана,

ВС = 6 см,

АВ = 8 см,

ВО = √͞͞͞͞͞46 см.

На промені  ВО  побудуємо відрізок  ОD  так, що  ОВ = ОD. У чотирикутнику  АВСD  діагоналі точкою перетину діляться навпіл, тому цей чотирикутник є паралелограмом. За властивістю діагоналей паралелограма отримаємо:

АС2 + ВD2 = 2АВ2 + 2ВС2,

Найдём  АС:

АС2 + (2√͞͞͞͞͞46)2 = 2(82 + 62),

АС2 = 200 – 184 = 16,

АС = 4 (см).

Завдання до уроку 18
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий