Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

воскресенье, 30 ноября 2014 г.

Урок 20. Прямокутник

ВІДЕОУРОК

Серед чотирикутників особливе місце посідає прямокутник.

Прямокутник – паралелограм, який має всі кути прямі, а діагоналі рівні.

ABCD – прямокутник.

∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90°.
Прямокутник разом із частиною площини, яку він обмежує, називається плоским прямокутником. У нього  4  вершини,  4  сторони та  4  кути. Усі кути прямокутника – прямі, протилежні сторони – попарно рівні, але суміжні сторони (довжина та ширина) мають різні довжини. Прямокутник – окремий вид паралелограма, тому має всі властивості паралелограма. У прямокутника:
– протилежні стороні рівні;
– протилежні кути рівні;
– діагональ діліть його на два рівні трикутники;
– діагоналі точкою перетину діляться навпіл;
– діагоналі прямокутника рівні;
– сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює  180°.

Якщо діагоналі в паралелограмі рівні, цей паралелограм – прямокутник.

Побудувати прямокутник можна так.

Побудуємо прямокутник  АВСD, у якого 

АD = 6 см,

АВ = 4 см.

Накреслимо пряму  ЕF  і відкладемо на ній відрізок  АD  завдовжки  6 см.
За допомогою косинця побудуємо з одного боку від прямої  ЕF  прямі кути  NАF  і  МDF. Відкладемо на промені  АN  відрізок  АВ  завдовжки  4 см  і на промені  DМ – відрізок  DС, що дорівнює  4 см. Сполучивши точки  В  і  С  відрізком, дістанемо шуканий прямокутник  АВСD.

ЗАДАЧА:

Яку частину прямокутника затушоване на рисунку ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Затушовані  2  з  6  однакових прямокутників, тобто

 2/6 = 1/3  частина. 

ЗАДАЧА:

О – точка перетину діагоналей прямокутника  АВСD,

∠ СОD = 52°.
Знайдіть  ∠ DВС.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

∠ ОВС =∠ ОСВ,

∠ СОD = ∠ ОВС +∠ ОСВ =

= 2∠ ОВС,

∠ DВС =∠ ОВС = 

= ∠ СОD : 2 =

= 52° : 2 = 26°.

ЗАДАЧА:

Сторони прямокутника дорівнюють  32 см  і  24 см. Знайдіть довжину діагоналі прямокутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
За теоремою Піфагора
ЗАДАЧА:

Сторона прямокутника дорівнює  4 см  і утворює із діагоналлю кут 60°. Знайдіть цю діагональ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

З умови завдання маємо:

АВСD – прямокутник,
ВС = 4 см, 
∠ ВСА = 60°.

Знайдіть  АС.

∆ АВС – прямокутний, у ньому катет

ВС = 4 см, а 

∠ ВАС = 30°.

За властивістю катета, що лежить у прямокутному трикутнику проти кута  30°,

ВС = 0,5АС.

Значить  АС = 8 см.

ЗАДАЧА:

Дано: АВСD – прямокутник, АВ = ВЕ.

Знайти: ∠ ВАЕ.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

В  ∆ АВЕ ∠ В = 90° (як один з кутів прямокутника).

АВ = ВЕ,

отже  ∆ АВЕ – рівнобедрений з основою  АЕ.

∠ А = ∠ Е 

як кути при основі рівнобедреного трикутника, в сумі вони мають  90°  як гострі кути прямокутного трикутника. Значить,

∠ А = ∠ Е = 45°,

∠ ВАЕ = 45°.

ВІДПОВІДЬ:  45°

ЗАДАЧА:

Діагональ ділить кут прямокутника у відношенні  1 : 2, а менша сторона дорівнює  12 см. Знайдіть діагональ прямокутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  ЕКРМ – даний прямокутник у якого 
∠ РЕК : ∠ РЕМ = 2 : 1.
∠ КЕМ = 90° (як кут прямокутника).
Позначимо через  k  коефіцієнт пропорційності, тоді

∠ РЕК = 2k, а  ∠ РЕМ = k.

Отже,

2k + k = 90°.

Звідки 

∠ РЕК = 60°, а  ∠ РЕМ = 30°.

Розглянемо  

 ∆ РЕМ (∠ М = 90°).
РМ = 1/2 ЕР (як катет протилежний куту в  30°).

Значить  

 ЕР = 2РМ = 24 см.

ВІДПОВІДЬ:  24 см.

ЗАДАЧА:

У рівнобедрений прямокутний трикутник вписано прямокутник так, що дві його вершини знаходяться на гіпотенузі, а дві інші – на катетах. Чому рівні сторони прямокутника, якщо відомо, що вони відносяться як  5 : 2, а гіпотенуза трикутника дорівнює  45 см ?
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

∆ АВС – рівнобедрений, звідси 

∠ А = ∠ С = 1/2 (180° – 90°) = 45°.

∆ АFК  и  ∆ СEL – рівнобедрені, тому що 

∠ АКF = 180° – ∠ F – ∠ А =

= 180° – 90° – 45⁰ = ∠ А 

і аналогічно  ∠ ЕLК = ∠ С.

Тому  АF = FК  и  LE = ЕС.

До того ж  КF = LE  (сторони прямокутника), так що 

АF = КF = LЕ = ЕС.

Нехай  FК = 2х, а  КL = 5х.

Тоді  АF = ЕС = FК = 2х

 і  FЕ = КL = 5х.

Отримаємо 

АС = АF + FЕ + EС =

 = 2х + 5х + 2х = 9х = 45,

звідки  х = 5.

Далі,

FК = 2х = 10 см,

КL = 5х = 25 см.

ВІДПОВІДЬ:  10 см, 25 см.

ЗАДАЧА:

Бісектриса кута  А  прямокутника  АВСD  діліть його сторону  ВС  на відрізки  ВМ  і  МС  завдовжки  10 см  і  14 см  відповідно. На відрізки якої довжини ця бісектриса ділить діагональ прямокутника ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСD – заданий прямокутник,
АМ – бісектриса кута  А,

ВМ = 10 см,

МС = 14 см.

Тоді  ВС = 24 см.

Оскільки  АМ – бісектриса кута, то

∠ 1 = ∠2.

∠ 1 = ∠ 3

як внутрішні різносторонні для паралельних прямих  ВС  і  АD  та січної  АМ.

Одержимо: ∠ 2 = ∠ 3.

Отже, трикутник  АВМ – рівнобедрений,

АВ = ВМ = 10 см.

З  ∆ ВАD (∠ А = 90°):
О – точка перетину бісектриси  АМ  і діагоналі  ВD.

Нехай  ВО = х, тоді

ОD = 26 – х.

За властивістю бісектриси  АС  ∆ АВD:
12х = 130 – 5х,

17х = 130, х = 130/17.

Отже,

ВО = 130/17 = 711/17 (см).

ОD = 26 – 711/17 = 186/17 (см)

ВІДПОВІДЬ: 

711/17 см,  186/17 см

ЗАДАЧА:

Бісектриса кута прямокутника діліть діагональ на відрізки завдовжки  30 см  і  40 см. На відрізки якої довжини ділить ця бісектриса сторону прямокутника ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  АВСD – заданий прямокутник,
АМ – бісектриса кута  А, яка перетинає діагональ  ВD  у точці  О,

ВО = 30 см,

ОD = 40 см.

Тоді  ВD = 30 + 40 (см).

Оскільки  АМ – бісектриса кута, то

∠ 1 = ∠2,

∠ 1 = ∠ 3

як внутрішні різносторонні для паралельних прямих  ВС  і  АD  та січної  АМ.

Одержимо: 

∠ 2 = ∠ 3.

Отже, трикутник  АВМ – рівнобедрений,

АВ = ВМ.

За властивістю бісектриси кута  А  у трикутнику  ВАD  одержимо:
Звідси   

АВ = 3х, АD = 4х.

З  ∆ ВАD (∠ А = 90°):

АВ2 + АD2 = ВD2,

9х2 + 16х2 = 4900,

25х2 = 4900, х = 14.

Отже,

АВ = 3 ∙ 14 = 42 (см).

АD = 4 ∙ 14 = 56 (см).

Оскільки

АВ = ВМ, то 

ВМ = 42 см,

МС = ВС – ВМ =

= 56 – 42 = 14 (см).

ВІДПОВІДЬ:  42 см,  14 см

Завдання до уроку 20
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий