Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

суббота, 13 декабря 2014 г.

Урок 12. Способ группировки

Способ группировки основан на том, что переместительный и сочетательный законы сложения позволяют группировать члены многочлена различными способами. Иногда удаётся такая группировка, что остаётся один и тот же многочлен, который в свою очередь как общий множитель может быть вынесен за скобки.

При заключении в скобки пользуются такими правилами:

– чтобы заключить в скобки многочлен со знаком плюс перед скобками, надо записать в скобках все члены многочлена с их знаками;
– чтобы заключить в скобки многочлен со знаком минус перед скобками, надо записать в скобках все члены многочлена с противоположными знаками.

ПРИМЕР:

 В выражении  

 2х3 + 5х2у – 4ху2 – у3  

 заключить в скобки крайние члены со знаком плюс перед скобками, а средние члены – со знаком минус.

 2х3 + 5х2у – 4ху2 – у3 = 
(2х3 – у3) – (4ху2 – 5х2у).

ПРИМЕР:

 В выражении  

 х2 – у2 – (у – х)  

 изменить перед скобками знак на противоположный.

 х2 – у2 – (у – х) = 
х2 – у2 + (х – у).

ПРИМЕР:

Разложить на множители:

х3 – 3х2 + 5х – 15.

РЕШЕНИЕ:

Произведём группировку следующим образом:

(х3 – 3х2) + (5х – 15).

В первой группе вынесем за скобки общий множитель  х2, во второй – общий множитель  5. Получим:

х2(х – 3) + 5(х – 3).

Теперь многочлен  (х – 3)  как общий множитель вынесем за скобки:

(х – 3)(х2 + 5).

Таким образом, получаем

х3 – 3х2 + 5х – 15 = (х – 3)(х2 + 5).

ПРИМЕР:

Разложить на множители:

20х2 + 3yz – 15хy – 4xz.

РЕШЕНИЕ:

20х2 + 3yz – 15хy – 4xz =

= (20х2 – 15хy) + (3yz  – 4xz) =

= 5x(4х – 3y) – z(4x – 3y) =

= (4x – 3y)(5x – z).

ПРИМЕР:

Разложим на множители многочлен:

 ab + ac + xb + xc.

Разобьём его члены на две группы: 

(ab + ac) + (xb + xc).

Вынесем в первой группе  за скобки общий множитель  а, во второй – общий множитель  х, получим выражение: 

a(b + c) + x(b + c).

Слагаемые этого выражения имеют общий множитель  b + c,  вынесем его за скобки, получим

 (b + c)(a + x).

Указанное преобразование можно записать цепочкой:

ab + ac + xb + xc = 
(ab + ac) + (xb + xc) =
a(b + c) + x(b + c) = 
(b + c)(a + x).

ПРИМЕР:

Разложить на множители:

 3а – 3b + ах – bх.

 Общего множителя все члены данного многочлена не имеют, но если сгруппируем члены по два в том порядке, как они написаны, то выражение примет вид:

 (3а – 3b) + (ах – bх).

 Если вынесем в первой группе общий множитель  3, а во второй общий множитель  х, получим:

 3(а – b) + х(а – b).

 В этом выражении общим множителем является  а – b. следовательно:

 3а – 3b + ах – bх = (а – b)(3 + х).

 Данный пример можно решить также другим способом:

 3а – 3b + ах – bх = 
(3а + ах) – (3b + bх) = 
а(3 + х) – b(3 + х) =
(3 + х)(а – b).

В некоторых случаях, прежде чем группировать члены, нужно отдельные члены многочлена представить в виде суммы или разности.

ПРИМЕР:

Разложить на множители:

a2 – 7ab + 12b2.

РЕШЕНИЕ:

Здесь никакая группировка не приведёт к появлению во всех группах одного и того же многочлена. В таких случаях иногда оказывается полезным представить какой-либо член многочлена в виде некоторой суммы, после чего снова попробовать применить способ группировки. В этом примере целесообразно представить  –7ab  в виде суммы

–3ab – 4ab.

Получим:

a2 – 7ab + 12b2 =

= a2 – 3ab – 4ab + 12b2 =

= (a2 – 3ab) – (4ab – 12b2) =

= а(a – 3b) – 4b(a – 3b) =

= (a – 3b)(a – 4b).

ПРИМЕР:

 х2 + 8х + 12 = 
х2 + 6х + 2х  + 12 = 
х(х + 6) + 2(х + 6) =
(х + 6)(х + 2).

ПРИМЕР:

х2 – 2х – 8 = 
х2 – 4х + 2х – 8 = 
х(х – 4) + 2(х – 4) =
(х – 4)(х + 2).

ПРИМЕР:
6х2 – х – 1 = 
6х2 – 3х + 2х – 1 = 
3х(2х – 1) + (2х – 1) =
(2х – 1)(3х + 1).

 Задания к уроку 12
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий