Урок 29. Чотирикутник і коло (2)

ВІДЕОУРОК

Ромб та коло.

У будь – який ромб можна вписати коло.

Центр кола, вписаного в ромб, перебуває на перетині його діагоналей.

Радіус, вписаний у ромб кола, дорівнює половині його висоті.

Радіус вписаного в ромб кола дорівнює половині твору сторони ромба на синус його кута.

Радіус вписаного в ромб кола можна знайти, якщо розділити площу цього ромба на подвоєну сторону.

Радіус вписаної в ромб кола можна знайти, знаючи площу цього ромба та синус кута.

Радіус вписаного в ромб кола дорівнює твору його діагоналей, поділеному на бік ромба, помноженого на чотири.

Радіус кола, вписаного в ромб, дорівнює квадратному кореню з добутку довжин відрізків, на які радіус ділить сторону.

Формула радіусу вписаного кола в ромб через діагоналі.

Формула радіуса вписаного кола в ромб через діагональ та кут.

Таблиця формул, для знаходження радіусу вписаного кола в ромб.

ЗАДАЧА:

У ромб вписано коло, радіус якого  5 см. Знайдіть висоту ромба.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Оскільки в ромбі радіус вписаного кола дорівнює половині висоти ромба, то висота буде вдвічі більшою.

h = 2r = 2 ∙ 5 = 10 (см).

ЗАДАЧА:

Дано ромб  АВСD. Окружність, описана біля трикутника  АВD, перетинає велику діагональ ромба  АС  у точці  Е. Знайдіть  СЕ, якщо

АВ = 8√͞͞͞͞͞5, ВD = 16.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

∆ АОВ – прямокутний:

По теоремі про відрізки хорд, що перетинаються:

BO∙ OD = AO∙ OE,

8 ∙ 8 = 16∙ OE.

OE = 4,

CE = 16 – 4 = 12.

ВІДПОВІДЬ:  12

ЗАДАЧА:

Знайти довжину кола  l, вписаного в ромб, діагоналі якого дорівнюють  15 см  і  20 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дано ромб, знаємо, що в ромб можна вписати коло, так як сума протилежних сторін рівна, а також в ромба діагоналі перпендикулярні і становлять  15 см  і  20 см  за умовою. Зробимо малюнок.

Довжина кола шукається за формулою:

l = 2πR.

У нас невідомий радіус. Одним з радіусів вписаного кола є  ОМ. Розглянемо трикутник  АОВ. Він прямокутний. Наша задача зводиться до відшукання відрізка  ОМ, яка є висотою в цьому трикутнику. Оскільки ромб – це паралелограм, значить, к нього теж діагоналі в точці перетину діляться пополам, отже 

ОB = 7,5 см, а  AO = 10 см.

Далі думаємо як пов'язати радіус є відомими величинами.

Знайдемо сторону ромба:

Позначимо  МВ = х, тоді 

АМ = (12,5 – х),

Знайдемо  ОМ  (радіус кола) з трикутника  АОМ, а також з трикутника  ОМВ. Прирівняємо їх і знайдемо  х.

100 – 156,25 + 25х – х² = 56,25 – х² ,

25х = 56,25 + 56,25,

25х = 112,5,  х = 4,5, 

Оскільки катет прямокутного трикутника є середнє пропорційне між гіпотенузою і відрізком гіпотенузи, ув'язненим між катетом і заввишки, проведеною з вершини прямого кута, то отримаємо:

Тоді довжина кола буде рівна 

2πR = 2×6π = 12π (см).

ВІДПОВІДЬ:  12π см

Окружність та трапеція.

Навколо кожної рівнобічної трапеції можна описати коло.

У трапецію можна вписати коло, коли сума її основ дорівнює сумі бічних сторін.

Висота рівнобічної трапеції, у яку можна вписати коло, є середнім геометричним між її основами.

Якщо у рівнобічну трапецію вписано коло, то її бічна сторона дорівнює середній лінії:

ЗАДАЧА:

Точка дотику кола, вписаного в прямокутну трапецію, ділить її меншу основу на відрізки  6 см  і  3 см, рахуючи від вершини прямого кута. Обчислити периметр трапеції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  ABCD  дана трапеція, BC  і  AD  паралельні, AB і  AD  перпендикулярні, точки  M, N, K, E – точки дотику вписаного кола зі сторонами трапеції, BK = 6 см, CK = 3 см, точка  О – центр вписаного кола, 

ОК = ON = OM = OE = r. 

У чотирикутнику  BKON  кути по  90º, отже він прямокутник.

За властивістю, дотичних проведених до кола через одну точку,

BN = BK = 6 см, 
KC = EC = 3 см.

Тоді  BKON  квадрат,

ON = OK = OE = 
OM = BK = 6 см,

AB = 12 см, BC = 9 см.

В трикутнику  COD,

OE² = CE × ED,

ED = 36 : 3 = 12 см.

CD = CE + ED =

3 + 12 = 15 см,

AD = 6 + 12 = 18 см.

Отже

P = AB + BC + CD + AD 
= 12 + 9 + 15 + 18 = 54 см.

ВІДПОВІДЬ:  54 см.

ЗАДАЧА:

Знайти діагональ і бічну сторону рівнобічної трапеції с основами  12 см  і  20 см, якщо центр описаного кола лежить на більшій основі.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  ABCD  вписана в коло трапеція, точка  О – центр описаного кола,

BC = 12 см, AD = 20 см.

Проведемо  CK  перпендикуляр до  AD.

CK = (20 – 12) : 2 = 4 см.

AK = 20 – 4 = 16 см.

Розглянемо трикутник  ACD,

CK² = AK × KD = 
16 × 4 = 64,

CK = 8 см;

AC² = AK² + CK² 
= 256 + 64 = 320,

AC = 8√͞͞͞͞͞5 см.

AВ² = СD² = 64 + 16 = 80,  

AC = 8√͞͞͞͞͞5 см.

AB = CD = 4√͞͞͞͞͞5 см.

ВІДПОВІДЬ:

AC = 8√͞͞͞͞͞5 см.

AB = CD = 4√͞͞͞͞͞5 см.

ЗАДАЧА:

У прямокутній трапеції точка дотику вписаного у неї кола ділить більшу основу на відрізки  12 см  і  16 см, починаючи від вершини прямого кута. Знайдіть меншу основу трапеції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  ABCD  трапеція описана навколо кола, точка  К – точка дотику,

AK = 12 см, KD = 16 см.

AK = OK = OE = r = 12 см,

KD = ED = 16 см.

Нехай  ABCD  трапеція описана навколо кола, точка  К – точка дотику,

AK = 12 см, KD = 16 см.

AK = OK = OE = r = 12 см,

KD = ED = 16 см.

В трикутнику  COD,

OE² = CE × ED, CE

= 12² : 16 = 9 см.

ВІДПОВІДЬ:  9 см 

ЗАДАЧА:

Кінці діаметру кола віддалені від його дотичної відповідно на  9 см  і  5 см. Знайдіть діаметр цього кола.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай нам дано коло з центром в точці  О  і діаметром  АВ. Проведемо дотичну  l  і побудуємо відстані  

АD = 9 см  і  ВС = 5 см. 

Проведемо радіус  ОН.

Оскільки  AD  і  BC – відстані до дотичної, то  AD ⊥ l  і  BC ⊥ l  і оскільки  ОН – радіус, то  OH ⊥ l, отже, 

OH ∥ AD ∥ BC. 

З цього всього отримуємо, що  ABCD – трапеція, а  ОН – її середня лінія. Тоді:

Значить

d = 2OH = 2 × 7 = 14 см.

ВІДПОВІДЬ:  14 см.

ЗАДАЧА:

Точка дотику кола, вписану у прямокутну трапецію, ділить її більшу основу на відрізки завдовжки  2 см  і  4 см. Обчисліть периметр трапеції.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай

ABCD  (АD ∥ ВС, АВ ⊥ АD) –

прямокутна трапеція,

К, М, N, Р – точки дотику вписаного кола до відповідних сторін трапеції.

АР = 2 см, РD = 4 см.

О – центр вписаного кола. За властивістю дотичних, проведених з однієї точки, одержимо:

АР = АК = 2 см,

ND = РD = 4 см,

ОР ⊥ АD, тому  АКОР – квадрат.

ОР = ОМ, тому КВМР = АКРО,

звідки 

ВК = ВМ = АР = 2 см.

Уведемо позначення: СМ = х см. За властивість дотичних, проведених з однієї точки, одержимо:

СМ = СN = х см.

Побудуємо висоту  СL  трапеції й отримаємо:

LD = РD – РL = (4 – х) см.

Розглянемо прямокутний трикутние  СLD (∠ L = 90°):

СD = ND + СN =

= (4 + х) см,

СL = 4 см.

За теоремою Піфагора маємо:

CD² – LD² = CL²,

(4 + x)² – (4 – x)² = 4²,

4² + 8x + x² – 4² + 8x – x² = 16,

16x = 16, x = 1.

Далі маємо:

СD = 4 + 1 = 5 (см),

ВС = 2 + 1 = 3 (см),

АВ = 2 + 2 = 4 (см),

АD = 4 + 2 = 6 (см).

Р = СD + AD + AB + BC =

= 5 + 6 + 4 + 3 = 18 (см).

ЗАДАЧА:

Коло, вписане в прямокутну трапецію, ділить точкою дотику бічну сторону на відрізки завдовжки  8 см  і  50 см. Знайдіть периметр даної трапеції, якщо радіус вписаного кола дорівнює  20 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

За властивістю дотичних 

ВN = ВK = R,

АN = АF = R,

КС = СР = 8 см,

DР = DF = 50 см.

Отже,

Р = 4R + 2(8 + 50) = 4R + 116.

∆СОD (∠ О = 90°).

Повторюємо метричні співвідношення в прямокутному трикутнику.

Квадрат висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи, дорівнює добутку проекцій катетів на гіпотенузу.

OP² = CP∙ PD,

OP² = R² = 8 ∙ 50 = 400 (см),

 R = 20 (см).

Тоді 

Р = 4 ∙ 20 + 116 = 196 (см).

ВІДПОВІДЬ:  196 см

Завдання до уроку 29

• Завдання 1 (ромб)
• Завдання 2 (трапеція)
• Завдання 3 (трапеція)

Інші уроки:

• Урок 1. Точка і пряма
• Урок 2. Кут 
• Урок 3. Паралельні і перпендикулярні прямі
• Урок 4. Коло 
• Урок 5. Кут і коло 
• Урок 6. Трикутник (1) 
• Урок 7. Трикутник (2) 
• Урок 8. Прямокутній трикутник (1) 
• Урок 9. Прямокутній трикутник (2) 
• Урок 10. Рівнобедрений (рівносторонній) трикутник (1)
• Урок 11. Рівнобедрений (рівносторонній) трикутник (2) 
• Урок 12. Периметр трикутника.
• Урок 13. Периметр рівнобедреного трикутника
• Урок 14. Трикутник і коло
• Урок 15. Прямокутний трикутник і коло
• Урок 16. Рівнобедрений трикутник і коло
• Урок 17. Чотирикутники
• Урок 18. Паралелограм
• Урок 19. Периметр паралелограма
• Урок 20. Прямокутник
• Урок 21. Периметр прямокутника
• Урок 22. Квадрат
• Урок 23. Ромб
• Урок 24. Периметр ромба
• Урок 25. Трапеція
• Урок 26. Рівнобічна трапеція
• Урок 27. Периметр трапеції
• Урок 28. Чотирикутник і коло (1) 
• Урок 30. Многокутник
• Урок 31. Правильний многокутник
• Урок 32. Осьова і центральна симетрії