Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

среда, 7 октября 2015 г.

Урок 19. Применение различных способов разложения многочлена на множители

Разложение многочлена на множители.

Иногда можно преобразовать многочлен в произведение нескольких множителей – многочленов или одночленов. такое тождественное преобразование называют разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих множителей.

Разложение многочленов на множители – операция, противоположная умножению многочленов. На множители раскладываются натуральные числа. На множители раскладываются и многочлены.

Разложить многочлен на множители – это значит заменить его произведением нескольких многочленов, тождественных данному многочлену.

Общие правила разложения многочлена на множители.

– вынести общий множитель за скобки (если он есть).

– проверьте можно ли к выражению в скобках применить формулы сокращённого умножения.

– если многочлен содержит больше чем три члена, то необходимо его предварительно сгруппировать.

При разложении многочленов на множители часто используются несколько приёмов. В каждом отдельном случае надо предварительно изучить состав данного многочлена и затем определить, какие приёмы разложения на множители здесь следует использовать. В большинстве случаев приходится применять все приёмы разложения на множители в различной последовательности. Иногда при этом используют искусственные приёмы.

Применение формул сокращённого умножения.

При помощи формул сокращённого умножения можно сравнительно быстро выполнить тождественные преобразования многих алгебраических выражений.

ПРИМЕР:

mp – np + m2 – 2mn + n2 = 
(mp – np) + (m2 – 2mn + n2) 
= p(m – n) + (m – n)2 = 
(m – n)(p + m – n).

ПРИМЕР:

 1 – p2 – 2pq – q2 =
 1 – (p2 + 2pq + q2) 
= 1 – (p + q)2 = 
(1 + p + q) (1 – p – q).

ПРИМЕР:

 x3 + 5x2 + 3x – 9 = 
= x3 – 1 + 5x2 – 5 + 3x – 3 = 
= (x3 – 1) + (5x2 – 5) + (3x – 3) = 
= (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x2 – 1) + 3(x – 1) = 
= (x – 1)(x2 + x + 1) + 5(x – 1)(x + 1) + 3(x – 1) =
= (x – 1)[x2 + x + 1 + 5(x + 1) + 3] = 
= (x – 1)(x2 + x + 1 + 5x + 5 + 3) = 
= (x – 1)(x2 + 6x + 9) = (x – 1)(x + 3)2.

ПРИМЕР:

Упростить:

(х – 1)(х + 1)(х4 + х2 + 1) – (х2 + 1)3.

(х – 1)(х + 1) = х2 – 1;

(х2 – 1)(х4 + х2 + 1) = х6 – 1;

(х2 + 1)3 = х6 + 3х4 + 3х2 + 1;

х6 – 1 – (х6 + 3х4 + 3х2 + 1) =

= –3х4 – 3х2 – 2.

Однако удобней преобразования выполнять цепочкой.

(х – 1)(х + 1)(х4 + х2 + 1) – (х2 + 1)3 =

= (х2 – 1)(х4 + х2 + 1) – (х2 + 1)3 =

= (х6 – 1) – (х2 + 1)3 =

= х6 – 1 – (х6 + 3х4 + 3х2 + 1) =

= х6 – 1 – х6 – 3х4 – 3х2 – 1 =

= –3х4 – 3х2 – 2.

ПРИМЕР:

Упростить выражение:

(3 – а)2 – а(а + 1).

РЕШЕНИЕ:

(3 – а)(3 – а) – а(а + 1) =

= 9 – 6а + а2 – а2 – а = –7а + 9.

ПРИМЕР:

Преобразуйте выражение

(1 + 5х)2 – 12х – 1

в многочлен стандартного вида.

РЕШЕНИЕ:

(1 + 5х)2 – 12х – 1 =

= 1 + 10х + 25х2 – 12х – 1 =

= 25х2 – 2х.

ПРИМЕР:

Упростите выражение

 (2а – 3)2 – 4(а2 – а)

и найдите его значение при  а = 17/8.

РЕШЕНИЕ:

Если сразу подставить дробь в выражение – придётся возводить её в квадрат и вообще делать объёмные вычисления. Поэтому сначала упростим выражение, пользуясь формулой сокращённого умножения и раскроем скобки:

(2а – 3)2 – 4(а2 – а) =

= 4а2 – 12а + 9 – 4а2 + 4а =

Приведём подобные слагаемые:

= –8а + 9 = –8∙17/8 + 9 = –17 + 9 = 8.

ПРИМЕР:

Упростить выражение:

(x + 2)(x – 2) – х(x + 3).

РЕШЕНИЕ:

(x + 2)(x – 2) – х(x + 3) =

= x2 – 4 – x2 – 3х = –3х – 4.

ПРИМЕР:

Найдите значение выражения:

а2 – 6а + 2  при

а = 3 – √͞͞͞͞͞2 .

РЕШЕНИЕ:

а2 – 6а + 2 =

= а2 – 6а + 9 – 9 + 2 =

= (а – 3)2 – 7.

Если  а = 3 – √͞͞͞͞͞2, то:

(а – 3)2 – 7 =

= (3 – √͞͞͞͞͞2  – 3)2 – 7 =

= 2 – 7 = –5.

ПРИМЕР:

Разложить на множители:

4а4b3 + 16а3b4 + 16а2b5.

РЕШЕНИЕ:

Сначала вынесем за скобки общий множитель. Для этого найдём наибольший общий делитель коэффициентов  4, 16, 16  и наименьшие показатели степеней, с которыми переменные  а  или  b  входят в составляющие данный многочлен одночлены. Получим:

4а2b3(а2 + 4аb + 4b2).

Дальше, пользуясь формулой, получаем:

а2 + 4аb + 4b2 = (а + 2b)2.

Окончательный ответ:

4а4b3 + 16а3b4 + 16а2b5 =

= 4а2b3(а + 2b)2.

ПРИМЕР:

Разложить на множители:

x6 – 1.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

x6 – 1 = (x3)2 – 12.

Применив формулу разности квадратов, получим:

(x3 + 1)(x3 – 1).

Применив формулы суммы кубов и разности кубов, получим:

(x + 1)(x2 – х +1)(x – 1)(x2 + х +1).

Окончательный ответ:

x6 – 1 = (x + 1)(x2 – х +1)(x – 1)(x2 + х +1).

ПРИМЕР:

x4 + 4у4.

РЕШЕНИЕ:

Прибавим и отнимем одночлен

4x2у2.

Получим:

x4 + 4у4 = (x4 + 4x2у2 + 4у4) – 4x2у2 =

= (x2 + 2у2)2 – (2xу)2 =

= (x2 + 2у2 – 2ху) (x2 + 2у2 + 2ху).

Здесь применён метод выделения полного квадрата.

Задания к уроку 19
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий