Урок 9. Прямокутній трикутник (2).

ВІДЕОУРОК

Висота прямокутного трикутника.

Висотою прямокутного трикутника називається перпендикуляр, опущений із вершини трикутника на протилежну сторону.

У прямокутному трикутнику висоти, опущені з вершин гострих кутів, збігаються з катетами трикутника, а висота, опущена з вершини прямого кута на гіпотенузу, ділить трикутник на два трикутники, подібні до вихідного і подібних один одному.

Довжина висоти трикутника  АВС

проведеної до гіпотенузи  ВС  знаходиться за формулою:

АК² = ВК ∙ КС.

де  ВК  и  КС – проекції катетів на гіпотенузу.

У прямокутному трикутнику висота, опущена з вершини прямого кута на гіпотенузу, поділяє гіпотенузу в такому відношенні, як знаходяться квадрати прилеглих катетів:

У прямокутному трикутнику висота, проведена з прямого кута, дорівнює добутку катетів, поділеному на гіпотенузу.

Кожен катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою і відрізком гіпотенузи, укладеним між катетом і висотою, проведеною з вершини прямого кута.

Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між відрізками, на які ділиться гіпотенуза цією висотою.

Висоти  h_a  і  h_b  збігаються з катетами  b  та  a.
Відрізок  XY  є середнє пропорційне між відрізками  АВ  і  СD, якщо

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС: 

∠ С = 90°,

∠ А = 30°, 

АВ = 2√͞͞͞͞͞3.

Знайдіть висоту  СН.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Так як катет, що лежить проти кута  30°, дорівнює половині гіпотенузи, то

ВС = 0,5АВ = √͞͞͞͞͞3.

Знайдемо катет  АС  у трикутнику  АВС, користуючись теоремою Піфагора:

АВ² = АС² + ВС²,

АС² = АВ² – ВС² =

= (2√͞͞͞͞͞3)² – (√͞͞͞͞͞3)² =

 =12 – 3 = 9, АС = 3.

У трикутнику  АНС: АС – гіпотенуза, СН – катет, що лежить проти кута  30°, значить

НС = 3 : 2 = 1,5.

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС: 

∠ С = 90°,

∠ А = 30°, 

СН – висота.

Знайдіть  АН, якщо  АВ = 2.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Так як катет, що лежить проти кута  30°, дорівнює половині гіпотенузи, то

ВС = 0,5АВ = 1.

Тоді за теоремою Піфагора з трикутника  АВС:

З прямокутного трикутника  АНС:

НС = 0,5АС = √͞͞͞͞͞3 : 2.

Тоді за теоремою Піфагора:

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС: 

∠ С = 90°,

∠ А = 30°, 

СН – висота.

Знайдіть  ВН, якщо  АВ = 4.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Так як катет, що лежить проти кута  30°, дорівнює половині гіпотенузи, то

ВС = 0,5АВ = 2.

Кут  ВСН  дорівнює  30° (90° – 60°),

отже  ВН = 0,5ВС = 1.

ЗАДАЧА:

У прямокутному трикутнику  АВС  висота  АК  ділить гіпотенузу на відрізки

ВК = 3 см,

КС = 2 см.

Знайдіть катети трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Знайдемо квадрат довжини висоти  АК, користуючись формулою

АК² = ВК ∙ КС = 3 ∙ 2 = 6.

Розглянемо прямокутні трикутники  АКС  та  ВКС, і знайдемо в них сторони  АС  і  АВ.

Медіана прямокутного трикутник.

Медіана – це відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Для прямокутного трикутника це будуть медіани, проведені з гострого кута до середин катет або з прямого до центру гіпотенузи.

Властивості медіани у прямокутному трикутнику.

– медіани в прямокутному трикутнику перетинаються в одній точці, а точка перетину ділить їх у співвідношенні два до одного рахуючи від вершини, з якої проведена медіана;

– медіана, проведена з вершини прямого кута до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи;

– медіана, опущена на гіпотенузу прямокутного трикутника, дорівнює радіусу кола, описаного навколо цього прямокутного трикутника;

– сума квадратів медіан, опущених на катети прямокутного трикутника, дорівнює п'яти квадратам медіани, опущеної на гіпотенузу;

– сума квадратів медіан, опущених на катети прямокутного трикутника, дорівнює п'яти четвертих квадрата гіпотенузи;

– медіана, опущена на гіпотенузу, дорівнює половині кореня квадратного із суми квадратів катетів;

– медіана, опущена на гіпотенузу, дорівнює частці від розподілу довжини катета на два синуси протилежного катету гострого кута;

– медіана, опущена на гіпотенузу, дорівнює частці від розподілу довжини катета на два косинуси гострого кута;

– сума квадратів сторін прямокутного трикутника дорівнює восьми квадратам медіани, опущеної на його гіпотенузу;

– медіана, проведена до катета  а, дорівнює половині кореня квадратного із суми вчетверного квадрата катета  b  і квадрата катета  а;

– медіана, проведена до катета  b, дорівнює половині кореня квадратного із суми вчетверного квадрата катета  а  та квадрата катета  b;

Позначення у формулах.

a, b – катети прямокутного трикутника;

с – гіпотенуза прямокутного трикутника.

Якщо позначити трикутник як  АВС, то

ВС = а, АС = b, АВ = с

(тобто сторони  а, b, с – є протилежними відповідним кутам).

т_а – медіана, проведена до катета  а;

т_b – медіана, проведена до катета  b;

т_с – медіана, проведена до гіпотенузи  с;

α (альфа) – кут  САВ, що проти лежить стороні  а.

ЗАДАЧА:

Дві сторони трикутника дорівнюють  6 см  і  8 см. Медіани, проведені до цих сторін, перетинаються під прямим кутом. Знайдіть третю сторону трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Позначимо

АN = х см. ВМ = у см.

Тоді 

АО = ²/₃ х, NО = ¹/₃ у,

ВО = ²/₃ х, МО = ¹/₃ у.

АМ² = ОМ² + ОА²,

ВN² = ОВ² + ОN²,

5х² + 5у² = 225,

х² + у² = 45.

АВ² = ВО² + ОА² =

= ⁴/₉ (х² + у²) = 20, то

АВ = √͞͞͞͞͞20 = 2√͞͞͞͞͞5 см.

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС:

АВ = √͞͞͞͞͞41, ВС = 13,

ВН – висота, опущена на бік  АС,

ВН = 5.

Знайдіть довжину медіани АМ.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

У прямокутному трикутнику  ВНС  за теоремою Піфагора

У прямокутному трикутнику  АВН  за теоремою Піфагора

Опустимо з точки  М  перпендикуляр  МD  на бік  АС, МD – середня лінія трикутника  ВНС, отже

МD = ¹/₂ ВН = ⁵/₂,

НD = DС = ¹/₂ НС = 6.

Тоді у прямокутному трикутнику  АМD

∠ АDМ = 90°,

АD = АН + НD =

= 4 + 6 = 10,

МD = ⁵/₂.

За теоремою Піфагора

ЗАДАЧА:

У прямокутному трикутнику медіани, проведені до катетів, рівні  √͞͞͞͞͞52  і √͞͞͞͞͞73. Знайдіть довжину гіпотенузи.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Проведемо медіани  АК  та  ВМ. Нехай 

АК = √͞͞͞͞͞52,

ВМ = √͞͞͞͞͞73,

х – половина довжини сторони  АС,

у – половина довжини сторони  ВС. Тоді з прямокутних трикутників  АСК  і  ВСМ  маємо:

АК² = АС² + СК²,

ВМ² = МС² + ВС²

тоді складемо систему рівнянь:

звідки

5(х² + у²) = 125,

х² + у² = 25,

АК² = 4(х² + у²).

АВ = 10.

ЗАДАЧА:

Медіани  СМ  та  ВN  прямокутного трикутника  АВС (∠ С = 90°), перпендикулярні. Знайдіть катети, якщо гіпотенуза дорівнює  с.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

МА = МС = МВ = ^с/₂.

Нехай  NО = х,

Тоді 

ВО = ²/₃ х, МО = ^с/₆.

МВ² = МО² + ВО²,

Бісектриса прямокутного трикутника.

Бісектрисою прямокутного трикутника називають відрізок бісектриси кута трикутника, який з'єднує його вершину з точкою на протилежній стороні трикутника.

Бісектриса прямокутного трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, відповідно пропорційні двом іншим сторонам.

Зв'язок кута  (α)  між висотою та бісектрисою, проведеними з прямого кута, визначається через гострі кути цього трикутника.

ЗАДАЧА:

Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника утворює з гіпотенузою кути, один з яких дорівнює  70°. Знайдіть гострі кути цього трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

∠ DBC = ∠ DBA = 45°,

∠ DCB = 180° – 70° – 45° = 65°,

∠ ADB = 180° – 70° = 110°,

∠ CAB = 180° – 110° – 45° = 25°.

ЗАДАЧА:

Бісектриса прямого кута прямокутного трикутника ділить гіпотенузу на відрізки завдовжки  15 см  і  20 см. Знайдіть довжини відрізків гіпотенузи, на які її поділяє висота трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Бісектриса трикутника ділить сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам.

Отже,

СВ : АС = 15 : 20.

Нехай коефіцієнт цього відношення буде  х. Тоді

АС = 20х, ВС = 15х,

АВ = 20 + 15 = 35.

За теоремою Піфагора:

АС² + ВС² = АВ^2,

400х² + 225х² = 1225.

х = √͞͞͞͞͞1,96 = 1,4,

АС = 20 ∙ 1,4 = 28,

ВС = 15 ∙ 1,4 = 21.

Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою і відрізком гіпотенузи, укладеним між катетом і висотою.

ВС² = АВ ∙ ВН,

441 = 35 ∙ ВН,

ВН = 12,6,

АН = 35 – 12,6 = 22,4.

ЗАДАЧА:

Кут між бісектрисою та медіаною прямокутного трикутника, проведеними з вершини прямого кута, дорівнює  14°. Знайдіть менший кут цього трикутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.

Оскільки зв'язок кута  (α)  між висотою та бісектрисою, проведеними з прямого кута, визначається через гострі кути цього трикутника наступним чином:

∠ ВАС = 45° – α,

∠ ВСА = 45° + α,

∠ α = ∠ МВD = 14°,

то менший кут трикутника  ВАС  дорівнюватиме:

∠ ВАС = 45° – 14° = 31°.

Завдання до уроку 9

• Завдання 1
• Завдання 2
• Завдання 3

Інші уроки:

• Урок 1. Точка і пряма
• Урок 2. Кут 
• Урок 3. Паралельні і перпендикулярні прямі
• Урок 4. Коло 
• Урок 5. Кут і коло 
• Урок 6. Трикутник (1) 
• Урок 7. Трикутник (2) 
• Урок 8. Прямокутній трикутник (1)  
• Урок 10. Рівнобедрений (рівносторонній) трикутник (1)
• Урок 11. Рівнобедрений (рівносторонній) трикутник (2) 
• Урок 12. Периметр трикутника.
• Урок 13. Периметр рівнобедреного трикутника
• Урок 14. Трикутник і коло
• Урок 15. Прямокутний трикутник і коло
• Урок 16. Рівнобедрений трикутник і коло
• Урок 17. Чотирикутники
• Урок 18. Паралелограм
• Урок 19. Периметр паралелограма
• Урок 20. Прямокутник
• Урок 21. Периметр прямокутника
• Урок 22. Квадрат
• Урок 23. Ромб
• Урок 24. Периметр ромба
• Урок 25. Трапеція
• Урок 26. Рівнобічна трапеція
• Урок 27. Периметр трапеції
• Урок 28. Чотирикутник і коло (1)
• Урок 29. Чотирикутник і коло (2)
• Урок 30. Многокутник
• Урок 31. Правильний многокутник
• Урок 32. Осьова і центральна симетрії