Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

пятница, 28 ноября 2014 г.

Урок 17. Чотирикутник

ВІДЕОУРОК
Чотирикутником називають фігуру, яка складається з чотирьох точок, жодні три з яких не лежать на одній прямій, та чотирьох відрізків, які послідовно з’єднують ці точки.
На малюнку точки  А, В  та  С  лежать на одній прямій, значить це не чотирикутник.
На малюнку прямі  АD  і  ВС  перетинаються, це не чотирикутник.
Дані точки називаються вершинами чотирикутника, а відрізки, що їх сполучають, –  сторонами чотирикутника. Чотирикутник позначають послідовно записуючи його вершини. Наприклад, чотирикутник, зображений на рисунку, можна позначити так:

ABCD,  BCDA,  CDAB,  DABC.

але не можна позначати  ABDС  (B  і  D – несусідні вершини).

Чотирикутники бувають опуклі й не опуклі.

Чотирикутник називають опуклим, якщо він лежить з одного боку від кожної прямої, яка містить його сторону.

Один із кутів чотирикутника може бути більшим від розгорнутого. Такий чотирикутник не опуклий. 

На рисунку  A, B, C  і  D – вершини чотирикутника,
AB, BC, CD  і DA – сторони чотирикутника, кути  DAB, ABC, BCD  і  CDA – кути чотирикутника. Кути позначають і так:

∠ A, ∠ B,  ∠ C, ∠ D  відповідно.

Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями.

Кожний чотирикутник має дві діагоналі. Діагоналі чотирикутника  перетинаються. Кожна діагональ розбиває чотирикутник на два трикутника.

Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами.

Сторони, які не мають спільного кінця, називаються протилежними сторонами.

Протилежні вершини чотирикутника – вершини, які не з'єднані спільною стороною.

Кожна сторона чотирикутника менша за суму трьох інших сторін. Щоб установити, чи можна з чотирьох відрізків утворити чотирикутник, потрібно перевірити, чи буде найдовший з них меншим за суму трьох інших. 

Кути чотирикутника називають протилежними, якщо їх вершини – протилежні вершини чотирикутника.

Сума кутів кожного чотирикутника дорівнює  360°.

Кут, суміжний з кутом чотирикутника, називають зовнішнім кутом чотирикутника.

При кожний вершини чотирикутника є два зовнішні кути, які рівні меж собою. 

Сума зовнішніх кутів опуклого чотирикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює  360°.

Периметр чотирикутника – це сума довжин усіх його сторін.

Периметр позначають літерою  P.

Периметр чотирикутника обчислюють за формулою:

P = AB + BC + CD + DA.

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС  кут  А  дорівнює  56°, кути  В  і  С – гострі. Висоти  ВD  і  СЕ  перетинаються в точці  О. Знайдіть кут  DОЕ.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Оскільки сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює  360°, то чотирикутника  АЕОD:

∠ А + ∠ Е + ∠ О + ∠ D = 360°,

звідки

∠ DОЕ = ∠ О =

= 360° – 90° – 90° – 56° = 124°.

ЗАДАЧА:

У трикутнику  АВС:

СЕ  і  ВF – висоти, що перетинаються у точці  Т.

∠ ЕТВ = 31°.

Знайдіть  ∠ А.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

∠ ЕТF = 180° – 31° = 149°.

Оскільки сума кутів опуклого чотирикутника дорівнює  360°, то чотирикутника  АЕТF:

∠ А + ∠ АЕТ + ∠ АFТ + ∠ FТЕ = 360°,

звідки

∠ А = 360° – 90° – 90° – 149° = 31°.

ЗАДАЧА:

В чотирикутнику  АВСD  сторона  ВС  на  1 см, а сторона  АD  на  6 см  більші за  АВ. Знайдіть периметр чотирикутника, якщо довжина сторони  СD  є середнім арифметичним сторін  АВ  та  

 АD  і  СD = 5 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Дано: чотирикутник  АВСD.

ВС = (АВ + 1) см, 
АD = (АВ + 6) см, 
СD = 5 см.
Знайти:  РАВСD.

РАВСD = AB + BC + CD + AD.

Із того, що
маємо:

2CD = AB + AD  або
2 × 5 = AB + AB + 6;
2AB + 6 = 10; 2AB = 4;
AB = 2 см.
BC = AB + 1, BC = 3 см;
AD = AB + 6, AD = 8 см;
РАВСD = 2 + 3 + 5 + 8 = 18 см.

ВІДПОВІДЬ:  18 см.

ЗАДАЧА:

Визначте величину кута  α, зображеного на рисунку.
РОЗВ'ЯЗАННЯ:

АВСDЕ – заданий многокутник. Продовжимо відрізок  ВС  до перетину з прямою  АЕ,
∠ ВFЕ – зовнішній до трикутника  АВF, тому

∠ ВFЕ = ∠ А + ∠ В =

= 40° + 20° = 60°.

У чотирикутнику  FСDЕ 

∠ С = 360° – 70° – 90° – 60° = 140°.

Тоді кут  α = 180° – ∠ С =

= 180° – 140° = 40°.

ВІДПОВІДЬ:  40°.

ЗАДАЧА:

Знайдіть найменший з кутів чотирикутника, якщо величини його кутів пропорційні числам  2, 5, 6  і  7.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай найменший кут чотирикутника  2х, тоді решта кутів –

5х, 6х  і  7х. Звідси:

2х + 5х + 6х + 7х = 360°,

20х = 360°, 2х = 36°.

Завдання до уроку 17
  Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий