Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

понедельник, 1 декабря 2014 г.

Урок 22. Квадрат

ВІДЕОУРОК

Квадрат – прямокутник, у якого всі сторони рівні.

ABCD – квадрат,
AB = BC = CD = AD,

∠ A = ∠ B = ∠ C = ∠ D = 90°.

Властивості квадрата.

– усі сторони квадрата рівні;
– всі кути квадрата прямі;
– діагоналі квадрата рівні;
– діагоналі квадрата взаємно перпендикулярні;
– діагоналі квадрата точкою перетину діляться навпіл;
– діагоналі квадрата ділять кути квадрата навпіл;
– діагоналі квадрата ділять його на чотири рівні прямокутні рівнобедрені трикутники.
Формули для знаходження діагоналі квадрата.
ЗАДАЧА:

На стороні  CD  квадрата  ABCD  позначено точку  К  так, що

∠ AВК = 60°.

Знайдіть відрізок  AК, якщо 

ВС = √͞͞͞͞͞6 см.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення:
ABCD – квадрат,

∠ AВК = 60°,

ВС = √͞͞͞͞͞6 см.

За умовою 

∠ AВК = 60°, тоді 

∠ КВС = 90° – 60° = 30°.

Розглянемо  ∆ ВСК (∠ С = 90°).

Так як кут  ∠ КВС = 30°, о проти кута  30°  лежить катет, що дорівнює половині гіпотенузи, тобто  ВК = 2СК. Позначимо 

СК = х, тоді  ВК = 2х.

За теоремою Піфагора запишемо:

ВК2 = ВС2 + СК2,

(2СК)2 = ВС2 + СК2,

3СК2 = (√͞͞͞͞͞6)2,

СК2 = 2, СК = √͞͞͞͞͞2 (см).

КD = СD – СК = (√͞͞͞͞͞6 – √͞͞͞͞͞2) (см).

Розглянемо  ∆ АКD (∠ D = 90°).

АК2 = АD2 + КD2 =

= (√͞͞͞͞͞6 )2 + (√͞͞͞͞͞6 – √͞͞͞͞͞2)2 =

= 6 + 6 – 2√͞͞͞͞͞12 + 2 =

= 14 – 4√͞͞͞͞͞3.
ЗАДАЧА:

У квадрат вписано прямокутник так, що на кожній стороні квадрата знаходиться одна вершина прямокутника та сторони прямокутника паралельні діагоналям квадрата. Знайдіть сторони прямокутника, знаючи, що одна з них удвічі більша за іншу і що діагональ квадрата дорівнює  12 м.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
∠ ВОА = 90° (діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом).

∠ ВОА = ∠ А1О1А = 90°  (як відповідні кути для паралельних прямих  ВD  і  А1D, та січної  АС).

АС – бісектриса, тому

∠ А1АО1 = ∠ О1АD1 =

= 1/2 ∠ А = 45°.

Значить,

∠ АА1О1 = ∠ АD1О1 = 45°.

∆ А1АD1 – рівнобедрений, оскільки  АО1  є висотою, бісектрисою, отже, і медіаною.

Значить 

А1О1 = О1D1, 

∆ АО1D1 – рівнобедрений, тому 

АО1 = О1D1.

Так що 

А1О1 = АО1 = О1D1.

Нехай відрізок  А1О1 = х м, тоді 

А1D1 = 2х м  і 

А1В1 = 2А1D1 = 4 м.

Далі,

АС = АО1 + О1О2 + О2С =

= АО1 + А1В1 + О2С.

х + 4х + х = 12,

6х = 12 м, х = 2 м.

Тоді 

А1D1 = 2х = 2 ∙ 2 = 4 (м).

А1В1 = 4х = 8 (м).

А1D1 = В1С1 = 4 (м),

А1В1 = D1С1 = 8 (м).

ВІДПОВІДЬ:  4 м, 8 м

ЗАДАЧА:

У рівнобедрений прямокутний трикутник вписаний квадрат так, що дві його вершини знаходяться на гіпотенузі, а дві інші – на катетах. Знайдіть сторону квадрата, якщо гіпотенуза дорівнює  3 м.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
∆ АВС – прямокутний, рівнобедрений, тоді, 

∠ АВС = ∠ АСВ =

= 1/2 (180° – 90°) = 45°.

∆ DКС – рівнобедрений, оскільки 

∠ DКС = 90°, ∠ АСК = 45°,

тоді та  ∠ КDС = 45°.

Значить  DК = КС.

Аналогічно і  ∆ ВLЕ – рівнобедрений і

ВЕ = LЕ,

LЕ = КD = ЕК – стороні квадрата.

Нехай  ВЕ = х м. Тоді 

ЕК = КС = х м,

ВС = ВЕ + ЕК + КС =

= 3х = 3 м,

х = 1 м.

Звідки  ЕК = 1 м.

ВІДПОВІДЬ:  1 м

Периметр квадрата.

Насправді дуже часто доводиться вирішувати завдання визначення периметра квадрата.

Квадрат – це постать, що лежить в одній площині. Якщо виміряємо і складемо всі сторони квадрата, то отримаємо число, яке називається периметром даного квадрата. Якщо в квадраті позначимо сторону  а, то периметр квадрата  Р  дорівнюватиме:
Знайти периметр квадрата – це означає обчислити суму сторін. Якщо периметр – це сума довжин усіх сторін фігури, то напівпериметр – сума двох сторін квадрата.
Формули для знаходження периметра квадрата.
ЗАДАЧА:

Сума діагоналей квадрата дорівнює  2√͞͞͞͞͞2. Знайдіть його периметр.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Якщо сума діагоналей дорівнює  2√͞͞͞͞͞2, а діагоналі квадрата рівні, то одна діагональ дорівнює  √͞͞͞͞͞2. Так як діагональ квадрата в  √͞͞͞͞͞2  рази більша за сторону, то сторона дорівнює  1. Значить, периметр квадрата буде дорівнює  4.

ЗАДАЧА:

У рівнобедрений прямокутний трикутник вписано квадрат так, що вони мають спільний прямий кут. Знайдіть периметр квадрата, якщо катет трикутника дорівнює  4 см.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Розглянемо  ∆ ВРС  і  ∆ МСК.
Вони рівнобедрені, бо прямокутні з гострім кутом  45°  (кути  Р  і  К – кути рівнобедреного трикутника за умовою) і мають рівні сторони 

РВ = ВС = СМ = МК.

Тому  ∆ ВРС = ∆ МСК  за двома катетами чи за катетом і гострім кутом. Отже, сторона квадрата дорівнює половині катета заданого рівнобедреного прямокутного трикутника. Периметр квадрата  
АВСМ   

2 × 4 = 8 (см).

ВІДПОВІДЬ:  8 см.

ЗАДАЧА:

Через вершини квадрата з периметром  8√͞͞͞͞͞2 см  проведено прямі які  паралельні його діагоналям. Обчисліть периметр утвореного чотирикутника.

РОЗВ’ЯЗАННЯ:

Накреслимо креслення.
Дано: квадрат  KLMN, у якого сторона  KL  дорівнює 

8√͞͞͞͞͞2  : 4 = 2√͞͞͞͞͞2 (см).

Розглянемо трикутник  KBL. Він рівнобедрений та прямокутний, у якому 

KL = 2√͞͞͞͞͞2 (см) – гіпотенуза.

Позначимо

КВ = ВL = х,

тоді за теоремою Піфагора, отримаємо:

х2 + х2 = (2√͞͞͞͞͞2)2,

Знайдемо  х.

2х2 = 8, х2 = 4,

х = 2.

Це половина сторони чотирикутника, який є квадратом, отже, його периметр дорівнює: 

2 ∙ 2 ∙ 4 = 16 (см).

ВІДПОВІДЬ:  16 см.

Завдання до уроку 22
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий