Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

пятница, 12 декабря 2014 г.

Урок 31. Правильний многокутник

ВІДЕОУРОК
Правильним многокутником називають опуклий многокутник, у якого всі сторони й усі кути рівні.

Сума кутів правильного многокутника, як і довільного многокутника, дорівнює  180°(n – 2).

 Величина кута  αn   правильного  n – кутника:
Многокутник називають вписаним в коло, якщо всі його вершини лежать на цьому колі.

Многокутник називають описаним навколо кола, якщо всі його сторони дотикаються до кола.

Навколо будь – якого правильного многокутника можна описати коло: у будь – якій правильний многокутник можна вписати коло, до того ж центри вписаного й описаного кіл збігаються.
де  R – радіус описаного кола, r – радіус вписаного кола, a – сторона правильного  n-кутника.

Формули для обчислення сторони  an  радіуса  R  описаного та радіуса  r  вписаного кіл для правильних  n-кутників.
Спільний центр описаного і вписаного кіл називають центром правильного многокутника.
Апофемою правильного многокутника називають перпендикуляр, проведений з центра правильного многокутника до його сторони. 

Апофема – це радіус вписаного кола.

Центральним кутом правильного многокутника називають кут, утворений двома радіусами, проведеними до сусідніх вершин. 

Центральний кут правильного  n – кутника обчислюють за формулою

ЗАДАЧА:

Знайдіть зовнішній кут при вершині правильного шестикутника.
РЕШЕНИЕ:

Внутрішній кут правильного шестикутника дорівнює  120°. Тому зовнішній його кут дорівнює

180° – 120° = 60°.

ЗАДАЧА:

Визначте кількість сторін правильного многокутника, внутрішній кут якого дорівнює  150°.

РЕШЕНИЕ:

180°n – 360° = 150°n,

30°n = 360°,

n = 360° : 30°,

n = 12.

ЗАДАЧА:

Центральний кут правильного многокутника дорівнює  30°. Визначте кількість сторін многокутника.

РЕШЕНИЕ:

Центральній кут
звідки
ЗАДАЧА:

Як знайти діагоналі правильного шестикутника, якщо відома довжина його сторони ?

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

СЕ – одна з коротких діагоналей шестикутника, ВЕ – одна з довгих діагоналей.
Враховуючи те, що кути правильного шестикутника дорівнюють  120°, легко знайти прямокутний трикутник, в якому є кут  30°, й використати співвідношення в цьому трикутнику.
ВІДПОВІДЬ:  а√͞͞͞͞͞3,  2а.

ЗАДАЧА:

Радіус кола, вписаного у правильний многокутник, дорівнює  2√͞͞͞͞͞3 см, а радіус кола, описаного навколо нього  4 см. Знайдіть периметр многокутника.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай –кількість сторін правильного многокутника.За відомою формулою маємо:
Враховуючи

 n ϵ N, n ≥ 3,  

 маємо
Отже, маємо шестикутник

а6 = R = 4 см.

Периметр

Р = 6 × а6 =
6 × 4 = 24 см.

ВІДПОВІДЬ:  24 см

ЗАДАЧА:

Знайти радіус кола, описаного навколо правильного восьмикутника, сторона якого дорівнює  а.

РОЗВ'ЯЗАННЯ:

Нехай  ABCDNKMF – правильний восьмикутник, вписаний у коло, АС – сторона квадрата, вписаного в це коло.
АС = R√͞͞͞͞͞2,
де  R – шуканий радіус.
Кут правильного n-кутника дорівнює:
Тоді
Із трикутника  АВС  за теоремою косинусів

AC2 = AB2 + BC2 – 2AB × BC × cos ∠B.
AC2 = a2 + a2 – 2a × a × cos 135°;
ВІДПОВІДЬ:
Завдання до уроку 31
Інші уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий