Уроки математики и физики (RU + UA)

▼

четверг, 19 марта 2015 г.

Урок 17. Сумма и разность кубов двух чисел

Сумма кубов двух чисел.

Для разложения на множители суммы кубов используется тождество:
которое называют формулой суммы кубов.
Чтобы доказать это тождество, умножим двучлен  а + b  на трёхчлен

а2 – ab + b2:

(а + b)(а2 – ab + b2) = 
а3 – a2b + ab2 + a2b  – ab2 + b3 
= а3 + b3.

 Множитель  а2 – ab + b2  в правой части формулы напоминает трёхчлен  а2 – 2ab + b2, который равен квадрату разности  а  и  b. однако вместо удвоенного произведения  а  и  b  в нём стоит просто их произведение. 
Трёхчлен  

 а2 – аb + b2  

 называют неполным квадратом разности  а  и  b. Итак:

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на неполный квадрат их разности.

ПРИМЕР:

8 + х3 = 23 + х3 =

= (2 + х)(4 – 2х + х2).

ПРИМЕР:

p3 + 64q3 = p3 + (4q)3 =

= (p + 4q)(p2 – 4pq + 16q2).

Если приведённую выше формулу прочесть справа налево, получим:

Произведение суммы двух чисел на неполный квадрат их разности равно сумме кубов этих чисел.

ПРИМЕР:

(0,8а2 + 5b)(0,64а4 – 4a2b + 25b2)
= (0,8a2)3 + (5b)3 = 0,512a6 + 125b3.

ПРИМЕР:

 (3а + 1)(9а2 – 3a + 1) =

= (3a)3 + 1 = 27a3 + 1.

ПРИМЕР:

 (5х + у)(25х2 – 5ху + у2) =

= 125х3 + у3.

Разность кубов двух чисел.

Для разложения на множители разности кубов используется тождество:
которое называют формулой разности кубов. 
Чтобы доказать это тождество, умножим двучлен  а – b  на трёхчлен  

 а2 + ab + b2:

(а – b)(а2 + ab + b2) = 
а3 + a2b + ab2 – a2b  – ab2 – b3 
= а3 – b3.

Множитель  а2 + ab + b2  в правой части формулы напоминает трёхчлен  а2 + 2ab + b2, который равен квадрату суммы  а  и  b. однако вместо удвоенного произведения  а  и  b  в нём стоит просто их произведение. 
Трёхчлен  

 а2 + аb + b2  

 называют неполным квадратом суммы  а  и  b. Итак:

Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на неполный квадрат их суммы.

ПРИМЕР:

 8 – х3 = 23 – х3 =

(2 – х)(4 + 2х + х2).

ПРИМЕР:

 27х3 – 8у3 = (3х)3 – (2у)3 =

(3х – 2у)(9х2 + 6ху + 4у2).

Эта формула читается и справа налево:

Произведение разности двух чисел на неполный квадрат их суммы равно разности кубов этих чисел.

ПРИМЕР:

(c – 2d) (c2 + 2cd + 4d2) =

= c3 – 8d3.

ПРИМЕР:

(0,8а2 – 5b) (0,64а4 + 4a2b + 25b2)
= (0,8a2)3 – (5b)3 = 0,512a6 – 125b3.

 Задания к уроку 17
Другие уроки:
на

Комментариев нет:

Отправить комментарий